Зобразити земну поверхню на площині - значить зобразити на ній обриси різних предметів місцевості. Всякий контур - це безперервний ряд точок. Зображення земної поверхні на площині зводиться таким чином до зображення окремих точок.
При зображенні на площині (аркуші паперу) різних контурів земної поверхні все їх точки проектують зі складною фізичної поверхні Землі на більш просту поверхню по перпендикулярам до цієї поверхні (малюнок 1.10). Такими поверхнями можуть бути поверхню земного еліпсоїда, кулі або площину.
Проектування точок земної поверхні по перпендикулярам до прийнятої поверхні називається о р т о г о н а л ь н и м проектуванням.
При зображенні невеликих за площею ділянок місцевості на площині (на плані) нехтують кривизною земної поверхні, тобто ділянка місцевості приймають за площину. Якими ж повинні бути розміри таких ділянок, щоб їх кривизною можна було б знехтувати?
Приймемо фігуру Землі за кулю радіуса R (рисунок 1.11). Нехай АВ = S - відстань на кулі, - центральний кут, відповідний дузі S. Проведемо дотичну площину в точці А і продовжимо радіус ОВ до перетину з цією площиною в точці С.
Якщо ділянку сфери S, приймемо за площину, відповідну відрізку дотичній АС = d. то матимемо помилку в горизонтальному відстані
а в вертикальному
З малюнка 1.11 видно, що
де кут виражений в радіанах. тоді
Відомо, що tg = + 1/3 3 +2/15 5 +.
Обмежуючись першими двома членами цього спадної ряду, і, нехтуючи наступними на увазі їх малості, отримаємо
Беручи до уваги, що = S / R, отримаємо
d = d 3/3 R 2. (1.7)
Прийнявши R = 6371 км, d = 10 км, отримаємо d / d = 1/1000000. Така помилка вважається допустимою при найточніших ізмереніяхрасстоянійна земної поверхні. Тому якщо зображуваний на плані ділянка земної поверхні не виходить за межі кола діаметром 20 км, то відповідну йому частину рівної поверхні можна прийняти за площину. Зі збільшенням відстані d помилка d швидко збільшується, так як вона пропорційна кубу відстані.
Визначимо тепер величину помилки h в вертикальному відстані внаслідок неврахування кривизни Землі.
З трикутника ОАС отримаємо
R 2 + d 2 = (R + h) 2 = h (2R + h) + R 2. (1.8)
Підставляючи в формулу (1.2) різні значення d, отримаємо наступні похибки h:
d, км. 0.10 1.0 2.0 3.0 10.0
h, см. 0.08 7.8 31 71 785
При інженерно-геодезичних роботах необхідна точність визначення відміток характеризується помилками менше 1-2 см, тому вплив кривизни Землі на визначення висот має, як правило, враховуватися.
Питання для контролю
1. Завдання інженерної геодезії
2. Сучасні уявлення про фігуру Землі
3. Система географічних координат
4. Система прямокутних і полярних координат
5. Сутність проекції К. Гаусса
6. Що означають координати точки Х = 5345123 м; У = 12345678 м?
7. Поняття абсолютної, відносної висот точок.
8. Як проектують точки фізичної земної поверхні на еліпсоїд, площину?
9. Як обчислити помилку в измеренном відстані при неврахування кривизни Землі?
10. Як обчислити помилку в виміряної висоті внаслідок неврахування кривизни Землі?