Метод простої ітерації дає можливість отримати послідовність наближених значень, що сходиться до точного розв'язання системи.
Перетворимо систему (3.1) до нормального вигляду:
. (3.2)
Права частина системи (3.2) визначає відображення:
, перетворює точку -мірного метричного простору в точку того ж простору.
Вибравши початкову точку, можна побудувати итерационную послідовність точок п - мірного простору:
При певних умовах дана послідовність сходиться.
Так, для дослідження збіжності таких послідовностей використовується принцип стискаючих відображень, який полягає в наступному.
Якщо F - стискає відображення, певне в повному метричному просторі з метрикою, то існує єдина нерухома точка, така, що. При цьому итерационная послідовність,, отримана за допомогою відображення F з будь-яким початковим членом х (0). сходиться к.
Оцінка відстані між нерухомою точкою відображення F і наближенням х (к) дається формулами:
(3.3)
де # 945; - множник, який визначається достатніми умовами стисливості відображення F.
значення множника # 945 ;. визначається вибором метрики, в якій перевіряється відповідність послідовності значень.
Розглянемо Достатні умови збіжності ітераційної послідовності.
Практично, для застосування методу ітерації систему лінійних рівнянь зручно "занурити" в одну з трьох наступних метрик:
(3.4)
Для того, щоб відображення F. заданий в метричному просторі співвідношеннями (3.2), було стискає, досить виконання однієї з наступних умов:
а) в просторі з метрикою:, т. е. максимальна з сум модулів коефіцієнтів у правій частині системи (3.2), узятих по рядках, повинна бути менше одиниці.
б) в просторі з метрикою:, т. е. максимальна з сум модулів коефіцієнтів у правій частині системи (3.2), взятих за стовпцями, повинна бути менше одиниці.
в) в просторі з метрикою:. т. е. сума квадратів при невідомих в правій частині системи (3.2) повинна бути менше одиниці
Приклад 3.1. Обчислити два наближення методом простої ітерації. Оцінити похибка другого наближення. В якості початкового наближення вибрати.
Так як діагональні елементи системи є переважаючими, то наведемо систему до нормального вигляду:
Послідовні наближення будемо шукати за формулами:
отримуємо:
, .
Для оцінки похибки в метриці обчислюємо коефіцієнт # 956;
.
Обчислюємо похибка:
Правила введення даних
Поставити свої запитання або залишити побажання або зауваження можна внизу сторінки в розділі Disqus.
Можна також залишити заявку на допомогу в розв'язанні контрольних робіт у наших перевірених партнерів (тут або тут).