визначені в деякому околі точки. тоді межа
,
якщо він існує, називається змішаною (суміжній) похідної функції в точці і позначається.
Аналогічно визначається як, якщо він (межа) существет.
Змішані приватні похідні порядку більшого двох визначаються індуктивно.
позначення Правити
властивості Правити
- Для переважної більшості функцій має місце рівність. Більш того, до певного часу вважалося, що це рівність виконується завжди. Але це не так.
приклад Шварца
Тобто змішані похідні в прикладі Шварца не рівні. - Має місце теорема про рівність змішаних похідних
теорема Шварца
Нехай виконані умови:
1. функції визначені в деякому околі точки.
2. безперервні в точці.
Тоді, тобто змішані похідні другого порядку дорівнюють в кожній точці, де вони неперервні.
Теорема Шварца про рівність змішаних приватних похідних индуктивно поширюється на змішані частинні похідні вищих порядків, за умови, що вони неперервні. - Проте умова безперервності суміжних похідних аж ніяк не є необхідним в теоремі Шварца.
приклад
змішані похідні другого порядку дорівнюють всюди, однак, розривні в точці (0,0).