Грають двоє, ходять по черзі. Перший ставить на площині червону крапку, другий у відповідь ставить на вільні місця 10 синіх точок. Потім знову перший ставить на вільне місце червону крапку, другий ставить на вільні місця 10 синіх, і т.д. Перший вважається виграв, якщо якісь три червоні точки утворюють правильний трикутник. Чи може другий йому перешкодити?
Першому можна ставити до певного моменту точки на одній прямій; порахуйте при цьому число "загроз" виграти наступним ходом, що виникають після k-ой поставленої червоною точки.
Відповідь - не може. Нехай перший ставить крапки на пряму, піклуючись тільки про те, щоб не потрапити в уже поставлену точку (це завжди можливо, так як на прямий нескінченно багато точок). Якщо вже поставлено n червоних точок на прямій, то додаток однієї нової точки на цій же прямій збільшує кількість місць, куди можна поставити червону крапку, щоб з вже поставленими вона утворила правильний трикутник, на 2n (нова точка з кожної зі старих - це одна сторона , до неї можна додати двома способами вершину правильного трикутника). Отже, кількість місць, куди можна поставити крапку, щоб утворився правильний трикутник, після постановки (n + 1) -й червоною точки дорівнює сумі арифметичної прогресії 2 + 4 + 6 +. + 2n = n (n + 1). Число синіх точок після цього ходу стає рівним 10 (n + 1), що при при n> 10 вже менше, ніж число можливих місць для червоної точки, що створює правильний трикутник. Тим самим, у першого після 10-го ходу завжди є можливість досягти мети.