Монотонна функція - це функція, приріст якої не змінює знака, тобто або завжди невід'ємне, або завжди непозитивним. Якщо на додаток приріст не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, змінна в одному і тому ж напрямку.
Функція зростає, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція убуває, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
визначення
Нехай дана функція Тоді
- функція називається зростаючою на, якщо
- функція називається строго зростаючої на, якщо
- функція називається спадною на, якщо
- функція називається строго спадною на, якщо
(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонної.
інша термінологія
Іноді зростаючі функції називають неубутних. а спадні функції незростаюча. Строго зростаючі функції тоді звуть просто зростаючими, а строго убувають просто зменшуються.
Властивості монотонних функцій
- Монотонна функція, певна на інтервалі. вимірна відносно борелевская сигма-алгебри.
- Монотонна функція, певна на замкнутому інтервалі, обмежена. Зокрема, вона інтегрована по Лебегу.
- Монотонна функція може мати розриви тільки першого роду. Зокрема, безліч точок розриву не більше ніж лічильно.
- Монотонна функція диференційована майже всюди щодо міри Лебега.
Умови монотонності функції
- (Критерій монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція неперервна на і має в кожній точці похідну Тоді не убуває на тоді і тільки тоді, коли не збільшується на тоді і тільки тоді, коли
- (Достатня умова суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція неперервна на і має в кожній точці похідну Тоді якщо то строго зростає на якщо то строго убуває на
Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Похідна строго монотонної функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі Точніше має місце
- (Критерій суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай і всюди на інтервалі визначена похідна Тоді строго зростає на інтервалі тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:
Аналогічно, строго убуває на інтервалі тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:
- Експонента строго зростає на всій числовій прямій.
- Парабола строго убуває на і строго зростає на.
- Константа одночасно незростаюча і неубутних на всій числовій прямій.
- Функція кантора - приклад безперервної монотонної функції, яка не є константою, але при цьому має похідну рівну нулю в багатьох точках.
- Функція Маньківського - приклад сингулярной строго зростаючої функції.
Дивитися що таке "Монотонна функція" в інших словниках:
Монотонна функція - [monotonic function] - функція f (x), яка може бути або зростаючої на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або спадної (в протилежному випадку). ... ... Економіко-математичний словник
Монотонна функція - функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не убуває), або завжди убуває (не збільшується) ... Великий Енциклопедичний словник
Монотонна функція - (monotonie function) Функція, в якій у міру зростання значення аргументу значення функції завжди змінюється в тому ж напрямку. Отже, якщо у = f (x), то або dy / dx> 0 для всіх значень х, і в цьому випадку у є зростаючою ... ... Економічний словник
Монотонна функція - (від грец. Monótonos однотонний) функція, збільшення якої Δf (x) = f (x ') f (x) при Δx = x' x> 0 не змінюють знака, т. Е. Або завжди невід'ємні, або завжди непозитивні. Висловлюючись не зовсім точно, М. ф. це функції, мінливі в ... ... Велика радянська енциклопедія
монотонна функція - функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не убуває), або завжди убуває (не збільшується). * * * Монотонна функція монотонна функція, функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або ... ... Енциклопедичний словник
Монотонна функція - функція одного змінного, певна на недо ром підмножині дійсних чисел, приріст до рій при не змінює знака, т. Е. Або завжди неотрицательно, або завжди непозитивним. Якщо строго більше (менше) нуля, коли то М. ф. наз. ... ... Математична енциклопедія
Монотонна функція - функція, до раю при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не убуває), або завжди убуває (не збільшується) ... Природознавство. енциклопедичний словник
Монотонна послідовність - це послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають ряд відмінних рис і додаткових властивостей. ... ... Вікіпедія
функція - Команда або група людей, а також інструментарій або інші ресурси, які вони використовують для виконання одного або декількох процесів або діяльності. Наприклад, служба підтримки користувачів. Цей термін також має інше значення: ... ... Довідник технічного перекладача
Функція - [function] 1. Залежна змінна величина; 2. Відповідність y = f (x) між змінними величинами, в силу якого кожному оскільки він розглядався значенням деякої величини x (аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення ... ... Економіко-математичний словник
- Функція Маньківського. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Функція «знак питання» Маньківського - побудована ... Детальніше Купити за 743 руб