1. Параметричні рівняння площині.
p і q напрямні вектори площині, p і q НЕ колінеарні, в Ектор компланарен з p і q = r - r0. Якщо точка М лежить в площині, то знайдуться числа і такі, що (1) - векторне параметричне ур-е площині.
Якщо,, M (x, y, z),, то система; ; (2) - параметричні рівняння площини
2. Векторні і лінійне рівняння площині.
Вектор -ненулевой вектор, перпендикулярний площині (4)
Якщо позначити радіус-вектор початкової точки r0 у вигляді, то отримаємо (5)
(3), (4) - векторні рівняння площини
Якщо і та, то можна записати Ax + By + Cz + D = 0. (6) загальне лінійне рівняння
3.Умови паралельності і збіги площин, заданих в координатної формі
Площині, що задаються в загальній декартовій системі координат рівняннями Ax + By + Cz + D = 0 і = 0
* Паралельні тоді і т.тогда, коли сответствующіе коефіцієнти в їх рівняннях пропорційні, тобто існує таке число k, що = kA, = kB, = kC.
* Збігаються тоді і т. Тоді, коли існує таке число k, що = kA, = kB, = kC і = kD
1) Якщо площини паралельні, то їх нормальні вектори n і n1 колінеарні, тобто n1 = kn.
2) Нехай площині паралельні. Тоді їх рівняння імєєют вид Ax + By + Cz + D = 0 і k (Ax + By + Cz) + = 0
Якщо вони збігаються, то ще й існує їхня загальна точка, значить, можна переписати
A + B + C + D = 0 і k (A + B + C) + = 0, віднімаємо і отримуємо, що = kD.
4. Відстань від точки до площини.
Нехай дана площину з рівнянням і точка М з радіус-вектором R. Розглянемо вектор = R - r0, що з'єднує початкову точку площини з М. Відстань від точки до площини дорівнює модулю його скалярною проекції на вектор n. тобто h =.
Якщо в декартовій прямоку. системі координат точка М має координати (X, Y, Z), то можна переписати у вигляді h =