Жартувати изволите, Dimoniada. Звичайно написав нісенітницю собачу - неуважно прочитав умова. Але ж в головному я, все-таки, прав - відповідь-то у мене вірний!
Ось "нормальне" рішення.
коротко:
В силу "принципу Ферма" вписаний в прямокутник чотирикутник з мінімальним периметром є паралелограма. Напівпериметр вписаного паралелограма дорівнює діагоналі прямокутника.
Обговорення.
Для додання викладеного рішенням повній суворості відзначимо два моменти:
Проблема виродження. Що, якщо перша з вершин вписаного чотирикутника потрапляє в вершину прямокутника? Ця проблема вирішується розглядом двох «нескінченно близьких» вершин чотирикутника на суміжних сторонах прямокутника замість однієї вироджених. Принцип «кут падіння дорівнює куту відбиття» працює і тут. В результаті мінімальний по периметру вироджених «чотирикутник» буде виродженим «параллелограммом», що збігається з діагоналлю прямокутника. Таким чином, він має той же самий напівпериметр, що і будь-який невироджених вписаний паралелограм.
Проблема існування. Фактично принцип «кут падіння дорівнює куту відбиття» дозволив нам стверджувати наступне: якщо у вписанном чотирикутнику хоча б на одній стороні не виконана умова «кут падіння дорівнює куту відбиття», то трохи спонукаючи цю вершину периметр можна зменшити, а значить, такий чотирикутник не є мінімальним по периметру. А периметр вписаного паралелограма покращити виявилося неможливим, звідки і був зроблений висновок про мінімумі його периметра.
Ця аргументація припускає з самого початку існування (хоча б одного) вписаного чотирикутника мінімального периметра (насправді, ми стверджуємо, що їх виявилося нескінченно багато). Суворе доказ існування спирається тут на теорему Кантора (Вейєрштрасса) про досягнення екстремуму неперервної функції [в даному випадку - периметра] на компактному безлічі [в даному випадку - на замкнутому, обмеженому безлічі вершин вписаних чотирикутників в чотиривимірному просторі]. Для замкнутості цього числа й потрібно включення в нього вироджених ситуацій, а обмеженість безлічі очевидна, тому що вершини чотирикутника знаходяться на сторонах (обмеженого) прямокутника.
==============
Взагалі використовувана в викладеному вище рішенні аргументація по суті ідентична аргументації Зенодор-Штейнера в рішенні задачі Дідони, і має ті ж проблеми з обґрунтуванням. Коло цих питань обговорюється, наприклад, в книзі Тихомирова з бібліотечки Кванта «Розповіді про максимумах і мінімумах».