Вивчаючи тему «Чотирикутник» ми вирішили, що чотирикутник дельтоид теж може бути цікавий для вивчення. Тому метою даної дослідницької роботи «Дельтоид» було показати широкі можливості творчої діяльності учня, які відкриваються при вивченні цієї фігури.
Ми поставили завдання дати визначення фігури, визначити її властивості і ознаки, стежачи за їх повнотою і непротиворечивостью; привести докази властивостей і ознак і, нарешті, придумати достатню кількість цікавих, різноманітних, різнорівневих завдань, диференційованих за їх складності. Це виявилися завдання на побудову дельтоїда, завдання дослідницького характеру, а також завдання на співвідношення дельтоїда, окружності і чотирикутника.
Дана робота приклад дослідницької діяльності учня. Вона дозволила учневі глибше усвідомити такі поняття як визначення, властивості, ознаки фігури. Познайомила учня з професією укладача текстових завдань підручника. Робота дозволила досліджувати і сам підручник, щоб знайти завдання в кресленнях в яких є дельтоид.
а) Причини виникнення даного дослідження. 3-4
б) Історіографія дельтоїда. 5
2. Основна частина:
1) Визначення дельтоїда. 7
2) Властивості дельтоїда. 7
3) Ознаки дельтоїда. 8
4) Завдання по темі «Дельтоид». 8-9
3. Висновок. 10
4. Додаток 1 - Докази властивостей дельтоїда. 11-15
5. Додаток 2 - Доказ ознак дельтоїда. 16-17
6. Додаток 3 - Рішення задач. 18-31
7. Додаток 4 - Дельтоид як частина геометричного креслення в задачах з підручника
«Геометрія 7-9». 32-33
8. Список використаної літератури. 34
а. Причини виникнення даного дослідження.
При вивченні теми: «Чотирикутник» дельтоид, як геометрична фігура, не розглядається. Звичні шкільні довідники. і. а також знаменитий довідник Бронштейна не містять жодних відомостей про дельтоидов. Тим часом цю фігуру часто зустрічаємо в навколишньому світі:
а) У біології (Якщо схематизувати об'єкти);
1) Крона дерева туя 2) Тіло риби
3) Лист дерева 4) Сполучені людські руки
5) Людський мозок має малюнок, який вчені називають (деревом життя), складовою частиною якого є дельтоіди
6) Форма очі, форма носа
Спостерігаючи за поверхнею відкритого грунту відзначаємо, що після відтавання, його поверхня покривається дельтоидами.
Часто знаходять метеорити, що мають форму дельтоїда.
Складовою частиною літальних апаратів служить дельтоид. Наприклад: частини ракет, дельтапланів, літаків. Зображення повітряного змія виглядає так:
б. Історіографія дельтоїда.
В даний час мало відомих робіт вчених і дослідників, які займаються дослідженням дельтоїда. Насправді майже немає, але я знайшла відому роботу Я. Штейнера зі співзвучною назвою «Дельтоида»
Дельтоида (кріваяШтейнера) - плоска крива алгебри, описувана фіксованою точкою кола, що котиться по внутрішній стороні інший кола, радіус якої втричі більше радіуса першої.
Дельтоида є окремим випадком гіпоціклоіди при k = 3.
Назва крива отримала за схожість з грецької буквою # 916 ;. Її властивості вивчалися Л. Ейлером в XVIII столітті, а потім Я. Штейнер в XIX.
1. Визначення дельтоїда
Дельтоид - опуклий чотирикутник, у якого є тільки дві пари рівних суміжних сторін.
Головна діагональ дельтоїда це - лінія з'єднує вершини не рівних кутів дельтоїда.
Неголовна діагональ дельтоїда - назвемо другу діагональ дельтоїда.
Середня лінія дельтоїда це - пряма з'єднує середину суміжних сторін дельтоїда.
2. Властивості дельтоїда. (Докази властивостей - додаток 1)
2.1 неголовних діагональ ділить дельтоид на два рівнобедрених трикутника.
2.2 Кути, що лежать по різні боки від головної діагоналі рівні.
2.3 Головна діагональ є бісектрисою кутів дельтоїда.
2.4 неголовних діагональ дельтоїда точкою перетину з головною діагоналлю, ділиться навпіл.
2.5 Діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.
2.6 Середні лінії дельтоїда утворюють прямокутник, P якого дорівнює сумі діагоналей даного дельтоїда.
2.7. У дельтоид завжди можна вписати єдину окружність
2.8 Площа дельтоїда визначається за формулою: 0,5 d1d2, де d1 і d2 - діагоналі.
2.9 Периметр дельтоїда визначається за формулою: 2 (а + в), де а і в суміжні нерівні сторони дельтоїда.
3. Ознаки дельтоїда. (Докази ознак - додаток 2)
3.1 Якщо в чотирикутнику одна з двох взаємно перпендикулярних діагоналей є бісектрисою, що не рівних протилежних кутів, а інша не є бісектрисою іншої пари кутів, то цей чотирикутник - дельтоид.
3.2 Якщо в чотирикутнику тільки одна з діагоналей точкою перетину з іншого діагоналлю ділиться навпіл і перпендикулярна їй, то цей чотирикутник-дельтоид.
4. Завдання по темі «Дельтоид» (Рішення задач - додаток 3)
4.1 Побудувати дельтоид за двома нерівним сторонам і куту між ними.
4.2 Побудувати дельтоид по стороні, головною діагоналі і розі між ними.
4.3 Побудова дельтоїда по двох діагоналях: АС, BD, причому головна діагональ в точці перетину ділиться в співвідношенні 2: 3.
4.4 Побудувати дельтоид за двома даними рівним суміжних сторонах і тупому куті між ними, причому діагоналі цього дельтоїда рівні.
4.5 Побудувати дельтоид за двома рівним діагоналям, одна з яких в точці перетину ділиться в співвідношенні 2: 7.
4.6 Побудувати дельтоид за двома нерівним сторонам і головною діагоналі.
4.7 Побудувати дельтоид за двома рівним сторонам, розі між ними і головною діагоналі.
4.8 Побудувати дельтоид, вписаний в окружність даного радіуса, якщо відомо, що його діагоналі відносяться, як 2: 3
4.9 Побудувати дельтоид за двома нерівним сторонам, діагоналі, що виходить з точки їх припинення і розі між стороною і діагоналлю.
4.10 Дослідити можливість отримання дельтоїда з різних типів трикутників, використовуючи прямі містять боку трикутників як осі симетрії.
4.11 Провести пряму проходить через його вершину і ділить його на дві рівновеликі частини.
4.12 Розділити дельтоид на три рівновеликі частини прямий проходить через точку перетину його рівних сторін.
4.13 Довести що точка перетину діагоналей описаного навколо кола дельтоїда збігається з точкою перетину діагоналей чотирикутника вершинами якого служать точки дотику сторін дельтоїда з окружністю.
4.14 знайти боку і діагоналі дельтоїда якщо його периметр дорівнює 116 см. Різниця
бічних сторін дорівнює 3 см. і головна діагональ точкою перетину діагоналей ділиться в
4.15 Довести, що відрізки з'єднують середину його головною діагоналі з центрами його сторін, ділить дельтоид на чотири рівновеликих чотирикутника.
До роботи над даним дослідженням мене підштовхнула витончена краса дельтоїда. Мене захопило те, що сама фігура невідома в шкільному курсі математики і мало відома в математичній літературі, а зустрічається на кожному кроці. При всій простоті цієї фігури, я придумала багато цікавих, захоплюючих і досить важких завдань. Разом з тим, я склала завдання посильні як семикласникам, так і дев'ятикласникам, а так само завдання для позакласної роботи.
Додаток 1 Докази властивостей дельтоїда.
2.1Неглавная діагональ ділить дельтоид на два рівнобедрених трикутника.
Дано: ABCD - дельтоид, AC- неголовна діагональ
Довести: ABC і ADC - рівнобедрений
1) За визначенням, дельтоид - це чотирикутник, у якого є тільки дві пари рівних суміжних сторін, слід AB = BC, AD = DC.
2) Трикутник називається рівнобедреним, якщо дві його сторони рівні, AB = BC, значить
ABC- рівнобедрений; AD = DC, значить ADC - рівнобедрений. Ч. т.д.
2.2Угли, що лежать по різні боки від головної діагоналі рівні.
Дано: ABCD - дельтоид, BD-головна діагональ
1) За визначенням дельтоїда - опуклий чотирикутник, у якого є тільки дві пари рівних суміжних сторін. Значить AB = BC, AD = DC.
2) А входить в BAD, C входить в BCD.
3) Розглянемо BAD і BCD:
1) AB = BC, по доведеному
2) AD = DC, по доведеному
3) BD - загальна, значить BAD = BCD, по трьом сторонам (III приз.). значить
2.3.Главная діагональ є бісектрисою кутів дельтоїда.
Дано: ABCD - дельтоид, BD - головна діагональ,
Довести: BD - бісектриса, 1 = 2, 3 = 4
1) 1 і 3 входять в BAD, 2 і 4 входять в BCD.
2) Розглянемо BAD і BCD:
1) АВ = ВС за визначенням дельтоїда
3) BD- загальна, BAD = BCD, по трьом сторонам (III приз.), Значить
1 = 2, 3 = 4, BD - ділить кути навпіл т. Е. Є бісектрисою. Ч. т.д.
2.4.Неглавная діагональ дельтоїда точкою перетину з головною діагоналлю, ділиться навпіл.
Дано: ABCD - дельтоид, AC-неголовна діагональ,
BD - головна діагональ.
1) По властивості 3.1, неголовна діагональ дельтоїда, ділить його на два рівнобедрених трикутника АВС і АDC: АВ = ВС, AD = DC
2) По властивості 3.3, головна діагональ дельтоїда є бісектрисою: 1 = 2, 3 = 4.
3) Бісектриса ВО проведена з вершини рівнобедреного трикутника є медіаною, то АТ = ОС. Ч. т.д.
2.5Діагоналі дельтоїда взаємно перпендикулярні.
Дано: ABCD - дельтоид, АС - неголовна діагональ,
BD - головна діагональ
Довести: АС # 9524; BD
1) По властивості 3.1, неголовна діагональ дельтоїда, ділить його на два рівнобедрених трикутника АВС і АDC: АВ = ВС, AD = DC
2) По властивості 3.3, головна діагональ дельтоїда є бісектрисою:
3) Бісектриса ВО проведена з вершини рівнобедреного трикутник є медіаною і висотою.
4), т. Е. ВО # 9524; АС отже АС # 9524; BD. Ч. т.д.
2.6Средніе лінії дельтоїда утворюють прямокутник, периметр якого дорівнює сумі діагоналей даного дельтоїда.
Дано: ABCD - дельтоид, L, E, F, M- середини сторін (BD = DC,
Довести: MDEF - прямокутник. РMDEF = СА + ВD
1) ME // BD і LF // DB т. Е. ME // LF
2) ML // CA і EF // CA т. Е. ML // EF
3) СА # 9524; ВD, значить і ML і ЕF # 9524; MЕ і LF, це означає, що 1 = 2, 3 = 4, і ML + ЕF = СА і MЕ + LF = ВD.
4) Слід, що РMLEF = ML + ЕF + MЕ + LF = СА + ВD. Ч. т.д.
2.7В дельтоид завжди можна вписати єдину окружність
Дано: ABCD - дельтоид,
Вписати: окружність (о; r)
1) Відомо, що якщо суми довжин протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.
2) За визначенням дельтоїда, це опуклий чотирикутник, у якого є тільки дві пари рівних суміжних сторін, слід. Значить АВ + DC = AD + ВС.
3) Точка Про перетин биссектрис СО і АТ кутів С і А. Слід: в дельтоид можна вписати коло. Єдину. Ч. т.д.
Дано: ABCD - дельтоид, d1- головна діагональ,
d2- неголовна діагональ
1) Розглянемо DAB: рівнобедрений, АТ - висота. Площа трикутника дорівнює висота помножена на половину підстави. SBAD = AO d2.
2) Розглянемо BCD- рівнобедрений, СО - висота. Площа трикутника дорівнює добутку висоти на половину підстави SВСD = CO d2.
3) SABCD = SBAD + SBCD = AO d2 + CO d2 = 0,5d2 (AO + CO) = 0,5 d2d1. Ч. т.д.
2.9Періметр дельтоїда визначається за формулою: 2 (а + в), де а і в суміжні нерівні сторони дельтоїда.
Дано: ABCD - дельтоид, АВ = AD = а, ВС = DC = в
1) Дійсно, за визначенням дельтоид - це опуклий чотирикутник, у якого дві пари нерівних суміжних сторін рівні.
2) Значить AB = AD = a; BC = DC = в. Периметр - це сума всіх сторін даної фігури. Значить РABCD = 2 (а + в). Ч. т.д.
Додаток 2 - Доказ ознак дельтоїда.
3.1Еслі в чотирикутнику одна з двох, взаємно перпендикулярних діагоналей є бісектрисою, що не рівних протилежних кутів, а інша не є бісектрисою іншої пари кутів, то цей чотирикутник - дельтоид.
Дано: Чотирикутник ABDC, d1-бісектриса (1 = 2),
d2- не є бісектрисою, d1 # 9524; d2, В = D
Довести: ABDC - дельтоид
1. А D входить в АОD, АВ входить в АОВ і AO # 9524; DB.
III Доказ: АВСD- дельтоид за визначенням, що дельтоид - опуклий чотирикутник у якого пара суміжних сторін рівні, а інша не рівні.
IV Можна побудувати єдиний дельтоид.
4.3 Побудова дельтоїда по двох діагоналях: АС, BD, причому головна діагональ в точці перетину ділиться в співвідношенні 2: 3.
Про - точка їх перетину
Побудувати: II Побудова:
1) АС, АЕ = 5 частин
2) розділимо АС на 5 рівних
частин, точка Про шукана
3) Побудуємо ВD # 9524; АС через точку Про
4) ВО = ВD і ОD = ВD
відкладаємо від точки Про
III Доказ: АВСD-дельтоид, за ознакою, якщо в чотирикутнику тільки одна з діагоналей точкою перетину з іншого діагоналлю ділиться навпіл і перпендикулярна їй, то цей чотирикутник - дельтоид.
IV Можна побудувати єдиний дельтоид.
4.4 Побудувати дельтоид за двома даними рівним суміжних сторонах і тупому куті між ними, причому діагоналі цього дельтоїда рівні.
3) Розділимо АС навпіл
і побудуємо через середину
III Доказ: АВСD- дельтоид, за ознакою, якщо в чотирикутнику тільки одна з діагоналей точкою перетину ділиться навпіл і перпендикулярна їй, то цей чотирикутник-дельтоид.
IV Можна побудувати єдиний дельтоид.
4.5 Побудувати дельтоид за двома рівним діагоналям, одна з яких в точці перетину ділиться в співвідношенні 2: 7
Побудувати: II Побудова:
1) АС = а, на промені АЕ 9 частин
2) Розділимо АС на 9 рівних частин
3) Точка Про шукана AО: ОС = 7: 2
4) Побудуємо ВD через точку Про
5) Відкладемо ВО = ОD = АС
III Доказ: АВСD-дельтоид, за ознакою, якщо в чотирикутнику тільки одна з діагоналей точкою перетину ділиться навпіл і перпендикулярна їй, то цей чотирикутник-дельтоид.