Розглянемо безліч R. Порівняємо його з безліччю N. Очевидно, що ½N ½. Дійсно, відрізок [0; 1] містить рахункове підмножина. значить, є не менш, ніж рахунковим. Покажемо, що [0; 1] і N не є рівнопотужними множинами, тобто що.
Теорема. Безліч точок відрізка [0; 1] не є рахунковим.
Проведемо доказ методом «від супротивного». Припустимо, що безліч [0; 1] лічильно, тобто існує біекція N на [0; 1], і кожному елементу відрізка можна привласнити номер: N>. Кожен елемент відрізка [0; 1] представляється у вигляді нескінченного десяткового дробу. де - j -я десяткова цифра i -го елемента. Запишемо всі елементи N. в порядку зростання номерів. Покажемо, що знайдеться елемент b. що належить відрізку [0; 1], але не збігається ні з одним з занумерованих елементів N. Метод побудови такого елемента називається діагональної процедурою Кантора і полягає в наступному. Будемо будувати елемент b у вигляді нескінченного десяткового дробу. де - i-я десяткова цифра. Як візьмемо будь-яку цифру, не збігається з. - будь-яку цифру, не збігається з. і т.д. при будь-яких N (рис. 6). Побудований таким чином елемент b належить відрізку [0; 1], але відрізняється від кожного з занумерованих елементів хоча б однією цифрою. Отже, припущення про те, що існує біекція N ® [0; 1] помилково, і безліч [0; 1] не є рахунковим.
Малюнок 6 Діагональна процедура Кантора
Отже, ми показали, що ½ [0; 1] ½> ½N ½, тобто клас еквівалентності, якому належить відрізок [0; 1], розташований правіше класу À0 рахункових множин в ряду потужностей (рис. 5). Позначимо цей клас À (Без індексу). Безлічі, що належать цьому класу, називаються незліченними або множинами потужності континуум (континуум - безперервний). Цього класу належать і інтервал (0; 1), і безліч R дійсних чисел, і безліч точок кола на площині.
Приклад. Безліч R має потужність континууму, тому що рівнопотужності відрізку [0; 1]. Дійсно, по теоремі Кантора-Бернштейна (див. 1.4.3) ½ [0; 1] ½ = ½ (0; 1) ½. Біекція інтервалу (0; 1) на безліч R можна задати за допомогою складної функції. де має вид і відображає інтервал (0; 1) на інтервал. а відображає інтервал на R за законом.