2.4. Індійський спосіб множення ...................................................... .6
2.5. Множення способом «Маленький замок» ....................................... 7
2.6. Множення способом «Ревнощі» ................................................. 8
2.7. Селянський спосіб множення ................................................. 9
Людині в повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики, нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Множимо, ділимо, складаємо і віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються в школі.
Одного разу мені випадково попалася книга С. Н. Олехнік, Ю. В. Нестеренко та М. К. Потапова «Старовинні цікаві завдання». Гортаючи цю книгу, мою увагу привернула сторінка під назвою «Множення на пальцях». Виявилося, що можна множити не тільки тому що пропонують нам в підручниках математики. Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.
Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учні не можуть проводити будь-які розрахунки, не маючи в своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини. Знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко виробляти прості розрахунки в розумі, а й контролювати, оцінювати, знаходити і виправляти помилки в результаті механізованих обчислень. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.
Показати незвичайні способи множення.
- Знайти якомога більше незвичайних способів обчислень.
- Навчитися їх застосовувати.
- Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті які пропонуються в школі, і використовувати їх при рахунку.
II. Основна частина. Незвичайні способи множення.
2.1. Трохи історії.
Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості і зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилковістю своїх обчислень. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.
Особливо важкі в старовину були дії множення і ділення. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один іншого заплутаніше, запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен учитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.
І всі ці прийоми множення - «шаховий або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «гратами», «задом наперед», «алмазом» та інші змагалися один з одним і засвоювалися з великими труднощами.
Давайте розглянемо найбільш цікаві та прості способи множення.
2.2. Множення на пальцях.
Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним з найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому досить було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" і "десятками". Пальці рук тут служили допоміжним обчислювальним пристроєм.
Для цього на одній руці витягали стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другий робили те ж саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножується числа, які свідчили, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.
Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 і 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2 + 3 = 5) і перемножити кількість не загнутих (2 • 3 = 6), то вийдуть відповідно числа десятків і одиниць шуканого твори 56. Так можна обчислювати твір будь-яких однозначних чисел, більше 5.
2.3. Множення на 9.
Множення для числа 9 - 9 · 1, 9 · 2. 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Растопирьте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцях послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).
Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, що дорівнює кількості, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує нам кількість десятків у відповіді, кількість пальців справа - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуті, праворуч - 4 пальці. Таким чином, 9 · 6 = 54. Нижче на малюнку детально показаний весь принцип "обчислення".
Ще приклад: потрібно обчислити 9 · 8 =. По ходу справи скажімо, що в якості "лічильної машинки" не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок в зошиті. Зачеркиваем 8-ю клітинку. Зліва залишилося 7 клітинок, праворуч - 2 клітинки. Значить 9 · 8 = 72. Все дуже просто.
7 клітин 2 клітини.
2.4. Індійський спосіб множення.
Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань був здійснений в Індії. Індуси запропонували вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, в разі відсутності будь - небудь розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.
Індуси відмінно вважали. Вони придумали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множимо, поразрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твори і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще не був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5. Множення способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».
Множення чисел зараз вивчають в першому класі школи. А ось в Середні століття лише одиниці володіли мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.
За тисячоліття розвитку математики було придумано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносинам і пропорційності» (1494 г.) призводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтичну назву «Ревнощі або загратоване множення».
Перевага способу множення «Маленький замок» в тому, що вже з самого початку визначаються цифри старших розрядів, а це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.
Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, по черзі множаться на нижню число і записуються в стовпчик з додаванням потрібної кількості нулів. Потім результати складаються.
2.6. Множення чисел методом «ревнощі».
Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «гратчасте множення».
Спочатку малюється прямокутник, розділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множимо і множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «... виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. - Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити, що сидять біля вікон дам і черниць ».
Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.
У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твори напишемо над косою рисою, а цифру одиниць - під нею. Тепер складаємо числа в кожній косою смузі, виконуючи цю операцію, справа наліво. Якщо сума виявиться менше 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо ж вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної сумі. В результаті отримуємо дані твір 10063.
2.7. Селянський спосіб множення.
Самим, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвійну кількість і дає шуканий результат.
У разі непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпчика потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором
Твір всіх пар відповідних чисел однакове, тому
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:
24 ∙ 17 = 24 ∙ (16 + 1) = 24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8. Новий спосіб множення.
Цікавий новий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне - як цю інформацію розташувати. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є девятерічня система - всі дані просто розташовують в дев'яти осередках, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.
Вважати за такою таблиці дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, відповідної п'ятірці, вибираємо числа, відповідні цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці і сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35
Ліву цифру (в нашому прикладі - нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль з двійкою, нуль з трійкою. Остання цифра також без змін.
В результаті отримуємо: 078235. Число 78235 і є результат множення.
Якщо ж при складанні двох чисел виходить число, що перевершує дев'ять, то його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.
Навчившись вважати усіма представленими способами, я прийшов до висновку: що найпростіші способи це ті, які ми вивчаємо в школі, може бути вони для нас більш звичні.
З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку більш цікавим видався спосіб «гратчастого множення або ревнощі». Я показав його своїм однокласникам, і він їм теж дуже сподобався.
Найпростішим мені здався метод «подвоєння і роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні не дуже великих чисел (дуже зручно його використовувати при множенні двозначних чисел).
Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в розумі «перевертати» величезними числами.
Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще більш швидкі і більш надійні способи.
Підписи до слайдів:
Роботу виконав учень 6 «Б» класу Хрещеників Василь. Керівник: Смирнова Тетяна Володимирівна Незвичайні способи множення
Мета роботи: Показати незвичайні способи множення. Завдання: Знайти незвичайні способи множення. Навчитися їх застосовувати. Вибрати для себе найцікавіші або легші і використовувати їх при рахунку.
Множення на пальцях.
Італійський математик Лука Пачіолі народився в 1445 році.
Множення способом "Маленький замок"
Множення методом «Ревнощі»
Множення м етод решітки. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 • 29 = 10063
Русский селянський спосіб 37 • 32 37 ......... .32 74 ......... .16 148 ......... .8 296 ......... .4 592 ......... .2 1184 ......... 1 37 • 32 = 1184
Дякуємо за увагу