Цей термін має також інші значення див. Норма.
Норма в векторному лінійному просторі над полем дійсних або комплексних чисел є функція, яка задовольняє таким умовам (аксіоми норми):
- , причому тільки при;
- для всіх (нерівність трикутника);
- для будь-якого скаляра.
Норма зазвичай позначається. Лінійне простір з нормою називається нормованим простором. а умови (1-3) - також аксіомами нормованого простору.
Аксіома 2 забезпечує опуклість куль, аксіома 3 - крім іншого, їх центральну симетрію.
Будь ненульовий вектор (зокрема функцію) кінцевої норми можна нормувати. поділивши його на значення його норми (після чого він стане нормованим). Також, нерідко застосовується вираз «нормований на", що має на увазі, що норма об'єкта дорівнює в цьому випадку не одиниці, а інший певній величині. Наприклад, іноді говорять про нормування на дельта-функцію. коли мова йде про нормування базису функцій, нумерованного безперервним параметром.
Приклади норм в лінійних просторах Правити
- Будь-яке предгільбертово простанство можна вважати нормованим. так як скалярний твір породжує природну норму
- Гёльдерови норми -мірних векторів (сімейство):,
де (зазвичай мається на увазі, що це натуральне число). Зокрема:
- (Евклидова норма),
- (Граничний випадок).
- Норми функцій в - просторі речових (або комплексних) безперервних функцій на відрізку [0,1].
- - в сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій утворює повне лінійне простір. Цього не можна сказати про наступні два прикладах норми на цьому просторі, проте, законних:
- Аналогічно можна ввести норми для скінченновимірних векторних функцій скінченновимірних векторних аргументів, замінивши на, а інтегрування по відрізку інтеграцією по області.
Топологія простору і норма Правити
Норма задає на просторі метрику. а значить топологію. базою якої є всілякі відкриті кулі, тобто безлічі виду. Поняття збіжності, певною мовою теоретико-множинної топології в такій топології і певною мовою норми, при цьому збігаються.
Еквівалентність норм Правити
Дві норми і на просторі називаються еквівалентними. якщо існує дві позитивні константи і такі, що для будь-якого виконується. Еквівалентні норми задають на просторі однакову топологію. У скінченномірному просторі все норми еквівалентні.
Норма оператора Правити
Норма оператора - число. яке визначається, як:
, де - оператор. чинний з нормованого простору в нормований простір.- Властивості операторних норм:
- , причому тільки при;
- , де;
- ;
- .
Матрична норма Правити
Нормою матриці називається дійсне число, яке задовольняє першим трьом з наступних умов:
- , причому тільки при;
- , де;
- ;
- .
Якщо виконується також і четверте властивість, норма називається мультиплікативної. Матрична норма, складена як операційна, називається підпорядкованою по відношенню до норми, використаної в просторах векторів. Очевидно, що всі підлеглі матричні норми мультиплікативний. Немультіплікатівние норми для матриць є простими нормами, заданими в лінійних просторах матриць.
Види матричних норм Правити
- -норма:
- -норма:
- Евклидова норма:
- Сингулярна норма (підпорядкована евклідової нормі векторів):