Анотація: В лекції розказано про історію виникнення геометричного програмування. Розглядаються нерівність Коші і його узагальнення. Наводяться приклади застосування цих нерівностей для вирішення прикладних завдань. Вводяться поняття Мономах і позінома.
Про термін "геометричне програмування"
завдання Дідони
Завдання Дідони. або класична изопериметрическая завдання, формулюється так: серед замкнутих плоских кривих, що мають задану довжину, знайти криву, що охоплює максимальну площу.
Цю задачу пов'язують з ім'ям Дідони - засновниці міста Карфаген і його першої цариці. Згідно з легендою, фінікійський царівна Дідона (Елісса), рятуючись від переслідувань свого брата, царя Тиру, вирушила на захід уздовж берегів Середземного моря шукати собі притулок. Їй сподобалося місце на узбережжі нинішнього Туніської затоки. Дідона вступила в переговори з місцевим ватажком Ярбом про продаж землі. Запросила вона зовсім небагато - стільки, скільки можна оточити бичачої шкурою. Дидоне вдалося умовити Ярбай. Угода відбулася, і тоді хитромудра Дідона порізала шкуру бика, яку їй надали місцеві жителі, на вузькі смужки, зв'язала їх і оточила територію, на якій заснувала фортецю, а поблизу від неї - місто Карфаген.
Якщо врахувати, що Дідона вибирала ділянку, що примикає до берега моря, то завдання, що стоїть перед Дидоной, можна сформулювати так: якої форми повинна бути крива довжини, щоб площа фігури, обмежена цією кривою і заданої лінією, була найбільшою. У припущенні, що - пряма лінія, рішенням завдання є півколо довжини.
нерівність Коші
Рішення окремого випадку завдання Дідони, коли потрібно визначити, який з прямокутників заданого периметра має найбільшу площу. було відомо ще математикам Древньої Греції. Більш того, ця геометрична задача вважається найдавнішою завданням на екстремум. Вирішення цього завдання наведено в VI книзі "Почав" Евкліда, де доводиться, що якщо розглянути прямокутник і квадрат одного і того ж периметра, то площа квадрата буде більше площі прямокутника.
Рішення завдання Дідони для прямокутників і деяких інших приватних випадків цього завдання легко отримати за допомогою нерівності Коші. яке встановлює, що середнє арифметичне невід'ємних чисел не менше їх середнього геометричного:
Рівність досягається тільки при.
Доказ нерівності Коші в загальному вигляді займає багато місця, тому тут ми наведемо доказ цієї нерівності тільки при:
Покажемо тепер на прикладах, як нерівність Коші може бути використано для вирішення оптимізаційних геометричних задач.
Приклад 1 (завдання Дідони для прямокутників). Знайдемо довжини сторін прямокутника з периметром, що має найбільшу площу.
Позначимо довжини сторін прямокутника через та, а його площа - через. Тоді математична модель задачі матиме вигляд: