У елементарної геометрії вимірювалися довжини прямолінійних відрізків, а також довжина кола і її частин. За довжину окружності приймається межа периметрів правильних вписаних в коло багатокутників при необмеженому збільшенні числа їх сторін. Узагальнимо це поняття для будь-якої кривої.
Визначення. ДлінойL дуги АВ називається межа, до якого прагне периметр вписаного в цю дугу ламаної, коли число її ланок необмежено зростає, а найбільша з довжин ланок прагне до нуля:
Криві, для яких ця межа існує, називаються спрямляются.
Теорема. Нехай кріваяАВ задана рівнянням y = f (x), де f (x) - безперервна функція, що має неперервну похідну в усіх точках сегмента [a; b]. Тоді дуга АВ має довжину:
/>,
Приклад 1.Найти довжину дуги полукубические параболи від х = 0 до х = 5. Рішення: Крива симетрична щодо осі Ох. Знайдемо довжину верхньої гілки кривої. З рівняння знаходимо
Для знаходження довжини дуги параболи можна скористатися формулами: Так як Тоді за формулою (1) отримаємо:
Для цього висловимо з рівняння параболи х і знайдемо похідну по «Ігрек»:
Тоді довжина дуги буде дорівнює: