Проблема зводиться до вибору кількості кошиків, які дилер повинен закуповувати щодня. Його цікавлять не абстрактні міркування про необхідність поставки смачною і вітамінної продукції населенню, а прибуток. Проблема ускладнюється тим, що прибуток залежить від попиту на продукцію, а попит передбачити напевно неможливо. Тобто прибуток є випадковим. Маємо типову задачу прийняття рішень в умовах ризику. Чи не вводячи поки додаткових понять, можна висловити деякі попередні міркування щодо характеру розв'язку.
Припустимо, що дилер придбав на одну корзину більше, ніж йому вдалося продати протягом дня. Виходить, що саме на ній він втрачає 16 доларів, оскільки вибагливий покупець не купить "вчорашнього" малину. Якщо ж він придбав менше на одну корзину, ніж міг продати, то він не втрачає, оскільки всі збитки відшкодовує, однак він міг би отримати більше, оскільки додатково закуплено кошик додав би до його прибутку ще 10 доларів. Очевидно також, що дилеру недоцільно купувати менше ніж чотири і більше, ніж вісім кошиків. Де ж "золота середина"? Для кожного рішення є спектр результатів. Занесемо їх в табл. 7.2, де зведені прибутку дилера за різних комбінацій закупівлі ним товару і обсягів попиту на нього.
Таблиця 7.2. в Варіанти вирішення і спектр результатів
Кількість закуплених кошиків
Наприклад, число 45 на перетині рядка 6 і стовпці 7 показує прибуток дилера за умови, що він придбав 7 кошиків, а попит склав 6. Дійсно, від перших шести корзин дилер має прибуток 60 доларів, а від сьомого понесе збитку на 15. В цілому ж він має прибутку на 45 доларів.
Трохи математики (або що таке математичне очікування)
Попит, відбитий в табл. 7.1 є випадково величиною. Вона приймає кінцеву кількість значень з певними можливостями. (Такі випадкові величини називаються дискретними.)
Імовірність - це число, що не менше нуля і не більше одиниці, що означає ступінь частоти, або ступінь впевненості, в тому, що певна подія відбудеться, зокрема, випадкова величина набере певного значення. Чим ближче ймовірність до одиниці, тим певніша подія, чим ближче ймовірність до нуля, тим подія малоімовірніша.
Величини, які містяться в правій колонці табл. 7.2 можна інтерпретувати як ймовірності. Неважко помітити, що сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці. Тобто випадкова величина обов'язково прийме одного з значень, перерахованих в таблиці. Дискретна випадкова величина повністю задана, якщо вказані два ряди значень:
де хх, х2. х # - значення, які набуває випадкова величина; РХО Г% o - "Р д, - ймовірно, з якими випадкова величина набуває цих значень.
Математичним очікуванням випадкової величини називається середньозважена по вірогідністю всіх Тих значень, тобто сума творів значень випадкової величини на ймовірності, з якими величина набуває цих значень.
Математичне сподівання є моделлю інтуїтивного уявлення про середні значення. Часто замість терміну "математичне очікування" використовується термін "очікувані значення" (наприклад, очікуваний дохід, очікуваний попит).
Наприклад, математичним очікуванням попиту на малину буде величина: 4 0.1 + 5 o 0.2 + 6 0.4 + 7 o 0.26 + 8 o 0.05 = 5.95.
Якщо випадкову величину позначити через а її математичне сподівання за М £, то введене визначення математичного очікування можна записати за допомогою формули:
Скориставшись визначенням математичного очікування і табл. 7.2, підрахуємо очікуваний дохід в разі, коли дилер купує чотири кошики: 0.1 o 40 + 0.2 o 40 + 0.4 o 40 + 0.26 o 40 + 0.06 o 40 = 40; п'ять: 0.1 25 + 0.2 o 50 + 0.4 o 50 + 0.26 o 60 + 0.05 o 50 = 47.5; шість: 0.1 * 10 + 0.2 o 35 + 0.4 60 + 0.25 o 60 + 0.05 o 60 = 50; сім: 0.1 o (-5) + 0.2 20 + 0.4 o 45 + 0.25 o 70 + 0.05 o 70 = "42.5;
Вісім кошиків: 0.1 o (-20) + 0.2 o б + 0.4 o 30 + 0.25 o 66 + 0.06 х 80 = 28.76.
Здійснено розрахунки показують, що максимальний очікуваний дохід буде отриманий за умови створення запасу з шести корзин малини.
в даному випадку критерій максимуму математичного очікування прибутку є цілком доречним, оскільки є повторюваність подій, або як ще кажуть статистичний ансамбль. Оскільки купівля-продаж здійснюється мало не кожен день, то гіпотеза щодо спроби покупця одержати в середньому максимальний прибуток є досить виправданою.
Розглянемо іншу ситуацію.