Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Теорема Ролля, Лагранжа, Коші
Ми продовжуємо вивчення властивостей функцій, що диференціюються. Першою ми вивчили теорему Ферма, суть якої полягає в тому, що в точці екстремуму похідна функції або не існує, або дорівнює 0.
Теорема 1. (Теорема Ролля) Нехай функція неперервна на відрізку. має похідну на інтервалі і при цьому. Тоді існує точка. в якій виконана умова.
Доведення . Функція неперервна на відрізку і, отже, досягає на цьому відрізку своє найбільше і найменше значення. Якщо ці значення збігаються, то функція дорівнює константі, і її похідна дорівнює 0 в кожній точці інтервалу. Якщо ж найбільше і найменше значення функції не збігаються, то хоча б одне з них не збігається зі значенням функції на кордонах відрізка. Нехай в точці досягається найбільше або найменше значення функції на відрізку. Тоді ця точка є точкою екстремуму і в цій точці по теоремі Ферма похідна дорівнює 0. Теорема доведена.
Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Нехай функція неперервна на відрізку і має похідну на інтервалі. Тоді існує точка. в якій виконана умова. (1)
Формула (1) називається формулою Лагранжа. Іноді її записують у вигляді і називають формулою кінцевих збільшень Лагранжа.
Теорема 3. (Теорема Коші) Нехай функції і неперервні на відрізку. мають похідні. на інтервалі і при цьому при. Тоді існує точка. в якій виконана умова (2).
Формула (2) називається формулою Коші.
Доведення . Зауважимо, що теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші, якщо в якості опції взяти функцію. Для доведення теореми Коші розглянемо допоміжну функцію. Зауважимо, що функція неперервна на відрізку і має похідну на інтервалі. при цьому . Отже, для функції виконані всі умови теореми Ролля. Звідси існує точка. в якій виконана умова. Отже,. що і рівносильно умові (2). Теореми Коші і Лагранжа доведені.
Що треба зробити при обчисленні границі функції. Якщо функція неперервна, то ми просто підставляємо граничне значення. Випадки, коли для обчислення можна підставити граничні значення, називаються невизначеностями. При обчисленні межі виду можлива ситуація, коли і межа чисельника, і межа знаменника рівні 0. Ясно, що в цьому випадку не можна застосувати теорему про те, що межа приватного дорівнює приватному від меж. Такого роду ситуація називається невизначеністю виду. Якщо чисельник і знаменник прагнуть до нескінченності, то це невизначеність виду. Бувають і інші види невизначеностей, наприклад,. . . Правило Лопіталя можна застосувати тільки для невизначеностей виду і. Інші види невизначеностей можуть бути перетворені до невизначеностей цих видів.
Теорема 4. (Теорема Лопиталя) Нехай функції і визначені, безперервні і мають похідні в деякому околі точки. за винятком, можливо, самої точки. при цьому межа є невизначеністю виду. Тоді. (3) якщо межа існує.
Доведення . Так як і. то функції і можна доопределить умовами. Таким чином доопределении функції стають безперервними на відрізку, що з'єднує точки і. Тому для відносини застосовна теорема Коші і, отже, існує точка. лежить на цьому відрізку така, що. Звідси і випливає твердження теореми.
Приклад 1. Обчисліть межа.
Рішення . Так як це невизначеність виду. то є законним застосування правила Лопіталя. Отже,. Відповідь. -8.
Відзначимо, що під нескінченно великою величиною розуміється величина, обернена до якої є величиною б. м. Звідси нескладно показати, що і до відношенню б. б. величин також може бути застосовано правило Лопіталя.
Правило Лопіталя. Границя відношення нескінченно малих або нескінченно великих величин дорівнює границі відношення похідних, якщо межа відносини похідних існує.
Приклад 2. Обчисліть межа.
Рішення . Так як це невизначеність виду. то є законним застосування правила Лопіталя. Отже,. Відповідь. 0.
Як ми з вами вже відзначали, важелем до створення в 17, 18 століттях теорії диференціального обчислення стало необхідність наближення складної функції простішими функціями. В якості таких простих функцій англійський математик Брук Тейлор (1685-1731) став використовувати многочлени.
Розглянемо многочлен ступеня. визначається параметрами:. Нехай задана функція. має похідних в точці. Розглянемо чисел:. . . ...,. Вони однозначно визначають многочлен Тейлора ступеня не вище. володіє тим властивістю, що. , ...,:
Многочлен Тейлора (4) і його похідних збігаються в точці з функцією і її похідними. Розумно припустити, що многочлен Тейлора (4) наближає функцію в околі точки. Цей факт відбивається формулою
яка називається формулою Тейлора. При формула Тейлора (5) набуває вигляду (6) і називається формулою Маклорена.
Зверніть увагу, що формула Тейлора (5) не потребує доведення, питання полягає лише в оцінці для конкретної функції величини. яка називається залишковим членом у формулі Тейлора. Застосування формули Тейлора розумно в тому випадку, коли залишковий член є малою величиною і прагне до 0 при. Для безпосереднього застосування формули Тейлора необхідно обчислити похідні функції в точці.
Приклад 3. Напишіть формулу Тейлора для функції в точці (формулу Маклорена для функції).
Рішення . Так як функція збігається з усіма своїми похідними, то виконана умова і формула (6) набуває вигляду. (7)
Приклад 4. Напишіть формулу Тейлора для функції в точці (формулу Маклорена для функції).
Рішення . Якщо. то. . . і далі похідні функції повторюються. Значення синуса і його похідних в точці 0 відповідно рівні числам: 0, 1, 0, -1, 0 і т. Д. Це можна записати у вигляді формул:. . . Отже, шукана формула набирає вигляду. (8)
Приклад 5. Напишіть формулу Тейлора для функції в точці (формулу Маклорена для функції).
Рішення . Якщо. то. . . і далі похідні функції повторюються. Значення косинуса і його похідних в точці 0 відповідно рівні числам: 1, 0, -1, 0, 1 і т. Д. Це можна записати у вигляді формул:. . . Отже, шукана формула набирає вигляду. (9)
Зверніть увагу, що формула (9) може бути отримана з формули (8) дифференцированием її лівої і правої частин. І це не випадково. Не обов'язково кожен раз обчислювати все похідні досліджуваної функції.
Приклад 6. Напишіть формулу Тейлора для функції в точці (формулу Маклорена для функції).
Рішення . Шукану формулу ми отримаємо, замінивши у формулі (7) аргумент на аргумент. Враховуючи що . ми приходимо до шуканої формулою. (10)
Зіставляючи формули (7), (8), (9), (10), ми приходимо до формули Ейлера. (11) яка згадувалася в лекції 1. Повністю формула Ейлера буде доведена, коли буде встановлено, що в формулах (7), (8), (9) залишкові члени із зростанням прагнуть до 0 при всіх значеннях аргументу.
Приклад 7. Напишіть формулу Тейлора для функції в точці (формулу Маклорена для функції).
Рішення . Якщо. то. . . . ..., (). Отже, шукана формула набирає вигляду. (12)
Оцінка залишкового члена у формулі Тейлора
Невід'ємною частиною використання формули Тейлора є оцінка її залишкового члена. Красиві і практичні формули з'являлися в роботах видатних математиків 18, 19 і так в 20 століттях. Відзначимо деякі результати без докази.
Теорема 5. (Теорема Лагранжа) Нехай функція має в деякій околиці точки похідну -го порядку. Тоді для довільної точки з цієї околиці знайдеться точка. що належить інтервалу, що сполучає точки і. володіє тим властивістю, що у формулі (5) виконано співвідношення. (13)
Теорема 6. (Теорема Коші) Нехай функція має в деякій околиці точки похідну -го порядку. Тоді для довільної точки з цієї околиці знайдеться точка. що належить інтервалу, що сполучає точки і. володіє тим властивістю, що у формулі (5) виконано співвідношення. (14)
Теорема 5. (Теорема Пеано) Нехай функція має в деякій околиці точки похідну -го порядку. Тоді у формулі (5) виконано співвідношення. (15)