Update: Мене тут попросили сформулювати простіше, що таке ранг матриці. Якщо простіше, то це максимальне число лінійно-незалежних рядків / стовпців матриці (число рядків і число стовпців збігається), тобто таких рядків / стовпців, які не можна отримати одне з одного елементарними перетвореннями.
Наприклад, у цій матриці
3 -1 1
6 -2 2
ранг дорівнює 1, тому що другий рядок є перша, помножена на 2.
Отже, кілька визначень.
Нехай дана матриця А розмірів n x m і число k. що не перевершує найменшого з чисел m і n. Виберемо довільно k рядків матриці і k стовпців (номери рядків можуть відрізнятися від номерів стовпців). Визначник матриці, складеної з елементів, що стоять на перетині вибраних k рядків і k стовпців, називається мінор порядку k матриці A. (Що таке визначник матриці можна подивитися тут Визначник (детермінант) матриці).
Рангом матриці А називається найбільший з порядків мінорів матриці А, відмінних від нуля. Ранг нульової матриці вважається рівним нулю.
Ненульовий мінор найбільшого порядку називається базисним мінор. Або, що те ж саме, мінор матриці А є її базисним мінор, якщо він не дорівнює нулю, і його порядок дорівнює рангу матриці А.
Теорема про базисному мінорі
Стовпці матриці А, що входять в базисний мінор, утворюють лінійно незалежну систему. Будь-стовпець матриці А лінійно виражається через стовпчики з базисного мінору.
Мінор Mок матриці А називають окаймляющим мінор для мінору М. якщо він виходить з останнього додаванням однієї нового рядка і одного нового стовпця матриці А. Порядок окаймляющего мінору Мок на одиницю більше порядку мінору М
Зрозуміло, що ранг матриці можна обчислити, перебираючи все мінори, але в даному калькуляторі для обчислення рангу матриці застосовується метод оздоблюють мінорів. заснований на наступній теоремі.
Теорема: Якщо для деякого мінору матриці все оздоблюють його мінори дорівнюють нулю, то він є базовим. (А порядок, його, відповідно, дорівнює рангу матриці).
Метод оздоблюють мінорів полягає в знаходженні одного з базисних мінорів матриці і полягає в наступному:
Вибирається ненульовий мінор першого порядку (ненульовий елемент матриці). До чергового ненульова мінору послідовно додаються такі рядок і стовпець, щоб новий окаймляющий мінор виявився ненульовим. Якщо цього зробити не можна, то останній ненульовий мінор є базисним.