Аналогічний приклад: учням пропонується схематичний малюнок поля прямокутної форми, яке розбите на рівні ділянки (квадрати), потрібно визначити, на скільки ділянок (квадратів) розбите дане поле.
Досить порахувати число квадратів в одному ряду (їх 11) і повторити це число складовою 4 рази (11 +11 + 11 + 11). Після цього вчитель вводить новий запис 11 4 = 44 і пропонує учням скласти ці два записи. З'ясовується: що позначає в другому рівність перший множник і другий множник. Це допомагає дітям краще засвоїти читання вираз виду: 11, 4, 7 6, 28 4. (9,112-116)
Дітям також пропонується різні завдання на співвіднесення малюнка і математичного запису, на запис і набір виразів, відповідних парі малюнків. Потім предметні безлічі замінюються схемами. Для цієї мети можна використовувати відрізки. наприклад:
- Вибери відрізок, який в 6 разів більше відрізка АВ.
При пояснення про сенс дії ділення основою його формування у молодших школярів служить теоретико-множинний підхід до трактування приватного, суть якого зводиться до розбиття множин на рівночисельний підмножини, що не мають спільних елементів.
Вибір цього підходу обумовлений тим, що він дозволить спиратися на життєвий досвід дитини при введення нової термінології і математичного запису. Дійсно, більшість учнів легко справляються з таким практичним завданням:
«Роздай 10 яблук - по 2 кожній дівчинці».
Наочне зображення виконуваних дій допомагає дитині усвідомити їх математичний сенс.
Він зводиться до розбиття кінцевого безлічі яблук на рівночисельний підмножини (по 2 яблука). В результаті отримуємо число частин в цьому розбиття. Мовою, доступному молодшому школяреві, це означає, що він розділив яблука на частини, по 2 яблука в кожній, тобто дізнався: «Скільки разів по 2 міститься в 10». Виконані дії в математиці прийнято записувати так: 10: 2 = 5 (десять розділити на два вийде п'ять).
Термін «розділити по» вживається в разі, коли мова йде про конкретні предмети, що пов'язано з особливостями російської мови. Наприклад, по-російськи не говорять: «10 яблук розділити по 2 яблука». При читанні ж числового рівності ми не називаємо предмети, тому можна сказати: «10 розділити на 2, отримаємо 5». Терміни «поділ за змістом» і «розподіл на рівні частини» вводити не слід, так як числові рівності виду 10: 2 = 5 можуть відповідати предметної ситуації, пов'язаний як з розподілом за змістом, так і з розподілом на рівні частини.
В процесі виконання учні усвідомлюють зв'язок дій множення і ділення, яка узагальнюється у вигляді правил, що відбивають взаємозв'язок компонентів і результатів множення і ділення. Ці правила формуються в такому вигляді:
1) якщо значення твору розділити на один множник, то отримаємо інший множник.
2) якщо дільник помножити на значення приватного, то отримаємо ділене.
3) якщо ділене поділити на значення приватного, то отримаємо дільник.
Формування уявлення про сенс поділу пов'язано з введенням понять «зменшити в кілька разів» ( «менше в») і «кратне порівняння» ( «у скільки разів менше?», «У скільки разів більше?»).
Для їх засвоєння використовуються також дії з предметними множинами. Однак діяльність учнів може бути організовано по різному.
Дітям дається таке правило на заучування. Щоб дізнатися, у скільки разів одне число більше або менше, ніж інше, треба більше число розділити на меншу. Показ незалежності числа предметів в безлічі від їх розміру, площі і форми розташування. Зіставляються множини, складені з предметів різного розміру або по-різному розташовані. (3, 64-69) Коли дітей познайомлять зі всіма числами до 10, їм показують, що для відповіді на питання скільки? не має значення, в якому напрямку ведеться рахунок. Вони в цьому самі переконуються, перераховуючи одні і ті ж предмети в різних напрямках: зліва направо і справа наліво; зверху вниз і знизу вгору. Дається уявлення про те, що вважати можна предмети, розташовані не тільки в ряд, але і всілякими способами. Вони вважають іграшки, розташовані у формі різних фігур (по колу, парами, невизначеною групою), зображення предметів на картці, нарешті, гуртки числових фігур. Дітям показують різні способи рахунку одних і тих же предметів і вчать знаходити зручніші (раціональні), що дозволяють швидко і правильно злічити предмети. Перерахунок одних і тих же предметів різними способами (3-4 способи) переконує дітей в тому, що починати рахунок можна з будь-якого предмета і вести його в будь-якому напрямку, але при цьому треба не пропустити жоден предмет і жоден не злічити двічі. ( 3, 8)
Отже, вивчення використання множин в навчанні арифметичних дій дуже важливе питання математики. Діти повинні вміти використовувати безліч, групувати предмети за різними ознаками, порівнювати групи множин. А також повинні вміти показати незалежності числа предметів від їх розміру, площі і форми розташування. Також важливо при вивченні вживання множин, щоб діти навчилися самостійно вдаватися до способів практичного зіставлення груп предметів, доводячи правильність своїх суджень про зв'язки та відносини між суміжними числами.
1.3 Методика розкриття конкретного арифметичних дій в початкових класах
У початковому курсі математики арифметичні дії над цілими невід'ємними числами є центральною темою. Основна мета вивчення цього розділу програми - виробити в учнів початкових класів вміння вирішувати арифметичні дії і завдання.
Вивчення конкретного сенсу арифметичних дій будуються в початковому курсі математики концентрично. У програмі запланована система поступового розширення області розглянутих з дітьми чисел (десяток - сотня - тисяча - багатомовні числа). Вивчення арифметичних дій в межах 10 має деякі особливості. Десять - підстава десяткової системи числення, тому числа від 1 до 10 утворюється в результаті рахунку простих одиниць. Арифметичні дії (додавання і віднімання) безпосередньо пов'язані з операціями над множинами. Випадки додавання і віднімання в межах 10 є табличними, вони заучують напам'ять. При формуванні навичок рахунку і відліку важливо поряд з рахунком окремих предметів тренувати дітей в рахунку груп, що складаються з однорідних предметів.
Перш ніж приступити до вивчення арифметичних важливо відпрацювати вміння рахувати, тому на кожному уроці включаються вправи в рахунку предметів - саме рахунок предметів - а не так званий «абстрактний рахунок». Діти вважають предмети навколишнього оточення, предметні картинки, предмети, зображені на картинках у підручнику, а також палички, гуртки, трикутники та ін.
Вважаючи предмети в різному порядку, учні своїми словами формують висновок про те, що результат рахунку не залежить від порядку рахунки. Вони повинні засвоїти, що якщо останній предмет виявився п'ятим за рахунку, то все предметів п'ять, і навпаки, якщо всього предметів п'ять, то останній предмет п'ятий, але разом з тим «п'ятий» - це тільки один предмет. Діти, вважаючи предмети, знайомляться з першими десятого числами натурального ряду (їх назвами, послідовністю), з'ясовують на прикладі цих чисел, як утворюється кожне наступне число в натуральному ряду. Спочатку це робиться на основі виконання відповідних операцій над множинами (прираховування і відлік по одному і групами). Кожне з чотирьох арифметичних дій має міцно зв'язатися в свідомості дітей з тими конкретними завданнями, яке вимагає його застосування, сенс дії і розкривається головним чином на основі практичних дій з множинами предметів. На цій основі доводиться до свідомості дітей зв'язок між компонентами і результатами дій, зв'язок між діями, що розглядаються властивості дій і вивчаються математичні відносини. Розкриття конкретного сенсу додавання і віднімання вивчається на основі практичних вправ, пов'язаних з об'єднанням двох множин предметів йди видаленням частини даного безлічі предметів. Такі вправи виконувалися починаючи з перших уроків математики, тривають вони і в темі «Складання і віднімання». Але тут головне значення набуває ознайомлення з діями над числами. Програма передбачає ознайомлення з основними приймання обчислень, якими учні повинні вміти користуватися при додаванні і відніманні чисел. Прийом додавання і віднімання числа по його частинах (по одиниці і групами) універсальний: він може бути використаний стосовно будь-якої нагоди додавання і віднімання.
З перших же уроків підготовчого періоду відпрацьовується вміння порівнювати чисельності множин. Порівняння чисел натурального ряду виконується з опорою на порівнянні множин. З цією метою пропонується дітям такі завдання: «Скажіть, на якому вікні квітів більше, в якому ряду ялинок на малюнку менше; яких гуртків більше, а яких менше на складальному полотні? ». Вправи на порівняння множин даються так, щоб діти виконували їх не тільки за допомогою рахунку, але і шляхом співвідношення елементів «один до одного». Порівняння множин шляхом співвіднесення предметів «один до одного» дає можливість вже в цей період встановлювати не тільки де більше, а де менше предметів, але і на скільки предметів більше, на скільки менше. При виконанні цих вправ, спираючись на безліч, учитель повинен кожен раз звертати увагу дітей на взаємозв'язок відносин «більше» і «менше»; наприклад, якщо квадратів на 1 більше, ніж трикутників (показує зайвий квадрат), то трикутників на 1 менше, ніж квадратів.
Також включають вправи на перетворення не рівночисельний множин в рівночисельний і назад. Наприклад, діти встановили, що яблук на 1меньше, ніж груш, а груш на 1 більше, ніж яблук. Учитель ставить питання: «Що треба зробити, щоб яблук стало стільки, скільки яблук?» (Прибрати одну грушу).
З метою розкриття конкретного змісту додавання і віднімання слід показати, що додавати і віднімати можна різні числа, а не тільки одиницю. Тому при вивченні арифметичних дій розглядаються всі випадки додавання і віднімання в межах 10 (а + 2, а + 3, а + 4, а + 5). Результати дій знаходять шляхом відповідних операцій над множинами, що допомагає дітям зрозуміти конкретний зміст додавання і віднімання. Після того як діти знайдуть результат складання, відразу з'ясовують, як отримали цей результат. (Скільки вийде, якщо до 3 додати 2?). На основі таких вправ учні поступово запам'ятовують не тільки результати дій в межах 10, а й склад чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 і 10 з доданків. Склад же цих чисел ілюструються за допомогою операцій над множинами. При розкритті конкретного сенсу арифметичних дій рекомендується навчити дітей вирішувати приклади на дві дії виду 6 + 1 + 1, 9-1-1, щоб діти закріпили вміння додавати і віднімати одиницю і накопичили спостереження: якщо додамо (віднімемо) 1 і ще 1, то всього додамо (віднімемо) 1 і ще 1, то всього додамо (віднімемо) 2. Спочатку рішення таких прикладів ілюструють діями з предметами, наприклад: «Покладіть 4 синіх квадрата, присуньте 1 жовтий квадрат. Скільки квадратів вийшло? присуньте ще 1 жовтий квадрат. Скільки квадратів вийшло? Запишіть приклад: 4 + 1 + 1; поясніть, як вирішуємо такий приклад (до 4 додати 1, вийде 5, до 5 додати 1, то вийде 6).