опукла комбінація

Більш формально, якщо задано кінцеве число точок $x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; dots,\; x\_n$ в векторному просторі над деякими полем, що містить поле дійсних чисел # 91; 1 # 93 ;. опукла комбінація цих точок має вигляд

де речові числа $\backslash \; alpha\_i$ задовольняють умовам $\backslash \; Alpha\_i\; \backslash \; geqslant\; 0$ і $\backslash \; Alpha\_1\; +\; \backslash \; alpha\_2\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; alpha\_n\; =\; 1$.

Зокрема, будь-яка опукла комбінація двох точок лежить на відрізку між цими точками.

Все опуклі комбінації точок лежать всередині опуклої оболонки цих точок.

Існують підмножини векторного простору, замкнуті щодо опуклою комбінації, але не замкнуті щодо лінійної. Наприклад, інтервал $[0,1]$ є опуклим, але лінійні комбінації точок цього інтервалу дають всю пряму. Інший приклад - опукле безліч розподілів ймовірностей.

інші об'єкти

• Подібно опуклою комбінації векторів, опукла комбінація $X$ розподілів ймовірностей $Y\_i$ - це зважена сума (де $\backslash \; alpha\_i$ задовольняють тим же обмеженням, що і вище) розподілів ймовірностей з щільністю ймовірності $f\_\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; ^\; \backslash \; alpha\_i\; f\_\; (x)$.

пов'язані побудови

• Конічна комбінація - це лінійна комбінація з невід'ємними коефіцієнтами.
• Середні арифметичні зважені - це, функціонально, те ж саме, що і опукла комбінація, але використовуються інші позначення. Для коефіцієнтів (ваг) в підвішеному середньому не потрібно рівність одиниці суми ваг. Замість цього лінійну комбінацію ділять на суму ваг.
• Аффінниє комбінації подібні опуклим комбінаціям, але не потрібно неотрицательность коефіцієнтів. Зважаючи на це аффінниє комбінації визначені на векторному просторі над будь-яким полем.

нерівності

Опуклі комбінації дійсних чисел підкоряються простим, але часто використовуваним неравенствам # 91; 1 # 93 ;.

Якщо заданий набір дійсних чисел $x\_1,\; \backslash \; dots.\; x\_n$, то для будь-якої їх опуклою комбінації з коефіцієнтами $a\_1,\; \backslash \; dots,\; a\_n\; \backslash \; geqslant\; 0,\; a\_1\; +\; \backslash \; dots\; +\; a\_n\; =\; 1$ мають місце оцінки:

Різні класичні нерівності можна вивести, розглядаючи прості опуклі функції $f\; (\backslash \; cdot)$, наприклад:

$f\; \backslash \; Big\; (\backslash \; sum\_\; ^\; a\_ix\_i\; \backslash \; Big)\; \backslash \; leqslant\; \backslash \; sum\_\; ^\; a\_if\; (x\_i)$,

де $a\_i\; \backslash \; geqslant\; 0,\; a\_1\; +\; \backslash \; dots\; +\; a\_n\; =\; 1$.

Застосування останнього нерівності до строго опуклою функції $f\; (x)\; =\; -\; log$

x призводить до нерівності між арифметичним і геометричним середніми з вагами:

$\backslash \; Sum\_\; ^\; a\_ix\_i\; \backslash \; geqslant\; \backslash \; prod\; ^\; n\_x\_i\; ^,\; \backslash ,\; x\_i\; \backslash \; geqslant\; 0$.

Коли все $a\_i$ рівні 1 / n, приходимо до нерівності між арифметичним і геометричним середніми:

$\backslash \; Frac\; \backslash \; sum\_\; ^\; x\_i\; \backslash \; geqslant\; \backslash \; Big\; (\backslash \; prod\; ^\; n\_x\_i\; \backslash \; Big)\; ^,\; \backslash ,\; x\_i\; \backslash \; geqslant\; 0$.

Напишіть відгук про статтю "Опукла комбінація"

Примітки

: Невірне або відсутнє зображення

Для поліпшення цієї статті бажано? :

• Перевірити якість перекладу з іноземної мови.

Уривок, що характеризує Опукла комбінація

Уявімо собі двох людей, які вийшли на поєдинок з шпагами за всіма правилами фехтувального мистецтва: фехтування тривало досить довгий час; раптом один із супротивників, відчувши себе пораненим - зрозумівши, що справа це не жарт, а стосується його життя, кинув свою шпагу і, взявши першу-ліпшу ломаку, почав перевертати нею. Але уявімо собі, що противник, так розумно вжив краще і найпростіше засіб для досягнення мети, разом з тим натхнений переказами лицарства, захотів би приховати суть справи і наполягав би на тому, що він за всіма правилами мистецтва переміг на шпагах. Можна собі уявити, яка плутанина і неясність сталася б від такого опису того, що сталося поєдинку.
Фехтувальник, який вимагав боротьби за правилами мистецтва, були французи; його противник, який кинув шпагу і підняв дубину, були російські; люди, які намагаються пояснити все за правилами фехтування, - історики, які писали про цю подію.
З часу пожежі Смоленська почалася війна, що не підходить ні під які колишні перекази воєн. Спалення міст і сіл, відступ після битв, удар Бородіна і знову відступ, залишення і пожежа Москви, лов мародерів, переімка транспортів, партизанська війна - все це були відступи від правил.
Наполеон відчував це, і з самого того часу, коли він у правильній позі фехтувальника зупинився в Москві і замість шпаги противника побачив підняту над собою палицю, він не переставав скаржитися Кутузову і імператору Олександру на те, що війна велася противно всіма правилами (як ніби існували якісь правила для того, щоб вбивати людей). Незважаючи на скарги французів про невиконання правил, незважаючи на те, що російським, вищим за матеріальним становищем людям здавалося чомусь соромливим битися дубиною, а хотілося за всіма правилами стати в позицію en quarte або en tierce [четверту, третю], зробити майстерне випадання в prime [першу] і т. д. - дубина народної війни піднялася з усією своєю грізною і величною силою і, не питаючи нічиїх смаків і правил, з дурної простотою, але з доцільністю, не розбираючи нічого, піднімалася, опускалася і цвяхи французів до тих пір , поки не загинула вся навала.
І благо тому народу, який не як французи в 1813 році, відсалютувавши за всіма правилами мистецтва і перевернувши шпагу ефесом, граціозно і чемно передає її великодушному переможцю, а благо тому народу, який за хвилину випробування, не питаючи про те, як за правилами надходили інші в подібних випадках, з простотою і легкістю піднімає першу-ліпшу ломаку і цвяхи нею до тих пір, поки в душі його почуття образи і помсти який замінюється презирством і жалістю.

Одним з найбільш відчутних і вигідних відступів від так званих правил війни є дія розрізнених людей проти людей, що тиснуть в купу. Такого роду дії завжди виявляються у війні, що приймає народний характер. Дії ці полягають у тому, що, замість того щоб ставати натовпом проти натовпу, люди розходяться нарізно, нападають поодинці і негайно ж біжать, коли на них нападають великими силами, а потім знову нападають, коли трапляється нагода. Це робили гверільяси в Іспанії; це робили горяни на Кавказі; це робили російські в 1812 му році.
Війну такого роду назвали партизанскою і вважали, що, назвавши її так, пояснили її значення. Тим часом такого роду війна не тільки не підходить ні під які правила, але прямо протилежна відомому і визнаному за непогрішиме тактичного правилом. Правило це говорить, що атакуючий повинен зосереджувати свої війська з тим, щоб в момент бою бути сильніше противника.
Партизанська війна (завжди успішна, як показує історія) прямо протилежний цьому правилу.
Протиріччя це відбувається тому, що військова наука приймає силу військ тотожні з їх числівники. Військова наука говорить, що чим більше війська, тим більше сили. Les gros bataillons ont toujours raison. [Право завжди на стороні великих армій.]

Схожі статті

• Приладова панель (комбінація приладів) лади-калини (ваз-1117, 1118, 1 119)

• Комбінація шпалер правила успішного комбінування

• Спеціальні клавіші і кнопки, кнопка thinkvantage, комбінації функціональних клавіш, інструкція по