конечномерного випадок
Ортонормованій базис задовольняє ще й умові одиничності норми всіх його елементів. Тобто це прямокутний базис з нормованими елементами.
Останнє зручно записується за допомогою дельта-символу Кронекера:
тобто скалярний добуток кожної пари базисних векторів дорівнює нулю, коли вони не збігаються (), і дорівнює одиниці при збігається індексі, тобто коли береться скалярний твір будь-якого базисного вектора з самим собою.
Дуже багато записується в ортонормированном базисі набагато простіше, ніж в довільному, тому дуже часто намагаються використовувати саме такі базиси, якщо тільки це можливо або використання якогось спеціального неортогональної базису не дає особливих спеціальних зручностей. Або якщо не відмовляються від нього на користь базису загального вигляду з міркувань спільності.
Ортонормованій базис є самодуальним (дуальний йому базис збігається з ним самим). Тому в ньому можна не робити відмінності між верхніми і нижніми індексами, і користуватися, скажімо, тільки нижніми (як зазвичай і прийнято, якщо звичайно при цьому використовуються тільки ортонормированном базисі).
Лінійна незалежність випливає з ортогональності, тобто досягається для ортогональної системи векторів автоматично.
Розкладання вектора по ортонормированном базису:
можна знайти так:
тобто кожен коефіцієнт розкладання (координата) будь-якого вектора в ортонормированном базисі дорівнює просто скалярному добутку цього вектора на відповідний базисний вектор.
Повнота ортонормованій системи векторів еквівалентна рівності Парсеваля. для будь-якого вектора
тобто квадрат норми вектора дорівнює сумі квадратів коефіцієнтів його розкладання по базису.
Аналогічні співвідношення мають місце і для бесконечномерного випадку (див. Нижче).
безконечномірний випадок
Ортогональний базис - система попарно ортогональних елементів e1, e2. en. гильбертова простору X така, що будь-який елемент однозначно представимо у вигляді сходиться за нормою ряду
Зазвичай базис en> вибирається так, що | en | = 1. і тоді він називається ортонормованим базисом. У цьому випадку числа an. називаються коефіцієнтами Фур'є елемента x з ортонормированном базису en>. мають вигляд
Необхідною і достатньою умовою того, щоб ортонормированном система en> була базисом, є рівність Парсеваля
Гільбертовому просторі, що має ортонормованій базис, є сепарабельном. і назад, у всякому сепарабельном гільбертовому просторі існує ортонормованій базис.
Якщо задана довільна система чисел an> така, що, то в разі гильбертова простору з ортонормованим базисом en> ряд - сходиться за нормою до деякого елементу. Цим встановлюється ізоморфізм будь-якого сепарабельного гильбертова простору простору l2 (теорема Рісса - Фішера).
Дивитися що таке "ортонормированном базис" в інших словниках:
БАЗИС - безлічі X мінімальне породжує його підмножина В. Породження означає, що застосуванням операцій недо якого класу до елементів виходить будь-який елемент Це поняття пов'язане з поняттям залежності: елементи Xпосредством операцій з ставляться в ... ... Математична енциклопедія
Ортогональним БАЗИС - система попарно ортогональних елементів е 1, е 2. е п. Гильбертова простору Xтакая, що будь-який елемент однозначно представимо у вигляді сходиться за нормою ряду зв. поруч Фур'є елемента ХПО системі. зазвичай базис <е i> вибирається ... ... Математична енциклопедія
Метод головних компонент - (англ. Principal component analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох областях, ... ... Вікіпедія
Істинне ортогональное розкладання - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія
Метод Головних Компонент - (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох областях, таких як ... ... Вікіпедія
Перетворення Карунена-Лоева - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія
Перетворення Кархунена-Лоева - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія
Перетворення Карунена - Лоева - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія