Визначення 13. Нехай А і В - множества.Правіло f, яке кожному елементу а безлічі А співвідносить один і тільки елемент b безлічі В. причому кожен елемент виявляється співвіднесені одному і тільки одному елементу. називається взаємно-однозначним відповідністю між множинами А і В. Правило f - функція.
Визначення 14. Число елементів кінцевого безлічі А називається потужністю безлічі і обозначаетсясімволом | A | або Card A. (від англійського cardinality - потужність).
Визначення 15. Якщо між множинами А і В можна встановити взаимнооднозначное відповідність, то безлічі називаються еквівалентними.
В або що вони мають однакову потужність.
Зауваження. Два кінцевих безлічі виявляються еквівалентними тоді і тільки тоді, коли вони складаються з однакового числа елементів. Так що поняття однакової потужності є пряме узагальнення поняття однаковою чисельності кінцевих множин.
Приклади еквівалентних множин: а) А і В - безлічі точок на паралельних сторонах прямокутника, б) А і В - безлічі точок двох концентричних кіл.
Визначення 16. Безліч, еквівалентну безлічі всіх натуральних чисел, називається рахунковим.
Теорема 1. Для того, щоб безліч А було рахунковим, необхідно і достатньо, щоб його можна було «перенумерувати», тобто уявити в формі послідовності:.
Визначення 17. Безліч всіх підмножин даної множини А називають булеані безлічі і позначають символом B (A) (в деяких джерелах Р (А) або 2 А.
Інші назви булеана - ступінь безлічі, показове безліч, безліч частин.
Наприклад, Нехай. тоді повний список підмножин і, отже, булеан безлічі дорівнює. де.
Теорема 2. Для будь-якого кінцевого безлічі A. якщо потужність його Card A = n. то потужність булеана дорівнює Card B (A) = 2 n.
Приклад. Нехай A =. Знайти кількість елементів булеана і перерахувати всі його елементи.
Зауваження 1. Якщо два безлічі рівнопотужні, то рівнопотужні і їх булеан.
Зауваження 2. Діагональ Кантора показує, що булеан безлічі (нескінченного чи ні) завжди має строго більшу потужність, ніж саме безліч (простіше кажучи, булеан повинен бути 'більше', ніж вихідна безліч). Булеан безлічі натуральних чисел, наприклад, можна поставити у взаємно-однозначна відповідність з безліччю дійсних чисел.
Зауваження 3. Булеан безлічі разом з операціями об'єднання, перетину і доповнення можна розглядати як типовий приклад булевої алгебри.
Приклад. Дано безліч Н = і його підмножини А. В і С. причому. В = х - просте число>, С = х - кратно 5>. Нехай безліч і В (М) - булеан цього безлічі. Тоді істинним буде твердження: 1). 2). 3). 4). Рішення. . . .Найдем безліч. тоді безліч. Справжнім буде 4) твердження.
Визначення 18. Безліч називається лінійним. якщо всі його елементи лежать на деякому проміжку прямий. Безліч називається плоским, якщо всі його елементи лежать в одній площині.
Визначення 19. Нехай а -Елемент лінійного безлічі. Інтервал довжини 2 # 949; з центром в точці а називається околицею точки а. . Нехай b -Елемент плоского безлічі, тобто його координати b (x0y0). # 949; - околицею точки b називається внутрішність будь-якого кола радіуса # 949; з центром в точці b. .
Визначення 20. Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо вона належить йому разом зі своєю околицею.
Визначення 21. Безліч називається відкритим. якщо всі його точки внутрішні.
Визначення 22. Безліч називається зв'язковим, якщо будь-які дві його точки можна з'єднати безперервної кривої або ламаної, цілком лежить в даній множині.
Визначення 23. Безліч, що складається з внутрішніх точок і володіє властивістю зв'язності називається відкритою областю або просто областю.
Приклади найпростіших областей: внутрішність круга, трикутника, еліпса.
Визначення 24. Точка, яка не належить області, називається граничною або граничної. якщо будь-яка її околиця містить точки, що належать області.
Безліч всіх граничних точок - межа безлічі.
Визначення 25. Безліч, утворене областю та її кордоном називається замкнутої областю. Інакше, безліч називається замкнутим, якщо воно містить всі свої граничні точки.
Визначення 26. Лінійне безліч називається обмеженим. якщо існує відрізок, всередині якого вона утримується. Плоске безліч називається обмеженим, якщо існує коло, всередині якого вона утримується.