Складною функцією називається така функція аргумент якої є ще одну функцію.
Правило обчислення похідної складної функції: Похідна складної функції дорівнює добутку похідної основної функції на похідну допоміжної (складаємо як би ланцюжок з творів похідних)
Похідні вищих порядків
Похідною другого порядку називається похідна від похідної першого порядку.
Фізичний зміст похідної
Теорема. Швидкість руху матеріальної точки в даний момент часу дорівнює похідній шляху по часу. Якщо S = f (t), то S '(t0) - миттєва швидкість.
1 Задача: Шлях пройдений матеріальною точкою задається рівнянням. Знайти швидкість руху в кінці п'ятої секунди.
Рішення: Відповідь: в кінці 5 сек. швидкість 28 м / с.
2 Завдання: Висота тіла кинутого вертикально вгору змінюється за законом: H = 200t-4,9t2. 1) Знайти швидкість тіла в кінці десятої секунди. 2) Скільки секунд тіло буде летіти вгору. 3) Який найбільшої висоти воно досягне?
Рішення:
Відповідь: В кінці десятої секунди швидкість 102 м / с; У момент часу 20,4 с. тіло зупиниться; Найбільша висота підйому 2040,8 м
Похідна другого порядку
Похідна другого порядку - це є прискорення руху в даний момент часу.
Знайти прискорення руху в момент часу 3 сек. якщо тіло рухається по закону, t = 3сек.
Рішення:
екстремуми функції
Проміжки монотонності функції
- Функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. якщо -возрастающая
- Функція називається спадною якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. якщо -зменшують
Функція називається монотонної якщо вона тільки зростає або тільки убуває.
1 Теорема. Якщо диференційована функція на деякому інтервалі зростає, то її похідна на цьому інтервалі позитивна. Якщо функція зростає.
2 Теорема. Якщо похідна функції на деякому проміжку негативна, то функція спадає на цьому проміжку. Якщо функція спадає.
Якщо при переході через деяку точку похідна змінює знак, то ця точка називається точкою екстремуму. При чому якщо похідна змінює знак з плюса на мінус, то ця точка максимуму
План дослідження функції на проміжку монотонності:
- Знаходимо похідну даної функції
- Знаходимо критичні точки (точки екстремуму і розриву) для цього похідну прирівнюємо до нуля
- На числовій прямій відзначаємо ці точки і фіксуємо проміжки, де x1, x2 критична точка
- Перевіряємо на похідною знак похідної на кожному інтервалі і виписуємо проміжки зростання та спадання
- Для вказівки точок екстремуму цю функцію замість X підставляємо значення точок екстремуму