Нещодавно математикам з Вашингтонського університету в Ботеллі вдалося виявити новий тип п'ятикутного паркету. Він став п'ятнадцятим, відомим на даний момент. Ми пропонуємо читачеві розібратися в тому, що це взагалі за паркети такі і які у них є чудові властивості.
Почнемо, власне, з поняття паркету, яке ще називають замощуванням. Паркетом називають розбиття площині на багатокутники так, що будь-які дві фігури перетинаються або по цілій стороні, або по вершині, або не перетинаються взагалі. Зрозуміло, придумати таких розбиття можна дуже багато, але нас будуть цікавити тільки досить симетричні паркети.
Найпростіший тип паркету, званий платоновим, - це паркет з правильних n-кутників, тобто багатокутників, у яких всі кути і всі сторони рівні.
Всього таких паркетів три штуки: площину можуть замощать тільки правильні трикутники, чотирикутники (вони ж квадрати) і шестикутники. Довести це досить легко. Сума кутів багатокутника обчислюється за формулою 180 (n - 2). Відповідно, величина кута правильного n-кутника в цьому випадку становить 180 (n - 2) / n. У кожній вершині паркету сходиться ціле число кутів (скажімо, k штук), причому їх сума повинна дорівнювати 360 градусам. Отримуємо на ці два цілих числа наступне тотожність k (n - 2) = 2n. Легко показати перебором, що це рівність вирішується тільки для n = 3, 4 і 6.
Забавно, що якщо відмовитися від умови правильності багатокутника, і, скажімо, розглянути паркети, складені тільки з опуклих багатокутників (тобто багатокутників, у яких всі кути менше 180 градусів), то з'ясується, що сторін в таких багатокутниках все одно не може бути більше шести. Доводиться це, втім, дещо складніше. Якщо відмовитися від умови опуклості, то семикутник цілком може замощать площину.
Зображення: Wikimedia Commons
Що стосується дозволених для паркету багатокутників, то про них можна сказати ось що. Замостити площину можна будь-яким трикутником - досить скласти з нього і повернутою копії паралелограм. Довільний чотирикутник на роль паркету також підходить.
З шестикутниками все цікавіше. Наприклад, можна взяти Платонове замощення і почати його розтягувати по одному з напрямків. В результаті вийде паркет з вже не правильних шестикутників. Виявляється, втім, що таке розтягування (як і деякі, більш хитрі перетворення) зберігає фіксований набір властивостей.
Щоб описати їх, позначимо кути шестикутника як A, B, C, D, E, F, а сторони як a, b, c, d, e, f. При цьому вважаємо, що сторона a примикає до кута A праворуч і всі сторони і кути названі за годинниковою стрілкою. У 60-ті роки минулого століття була доведена чудова теорема: шестикутником можна замостити площину тоді і тільки тоді, коли він належить одному або більше з трьох класів (класи тут перетинаються, скажімо, правильний шестикутник належить всім трьом):
- A + B + C = 360
- A + B + D = 360, a = d, c = e
- A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.
Довгий час цей список вважався повним, поки в 1968 році Роберт Кершнер раптом не виявив ще три таких класу. У 1975 році математик Річард Джеймс збільшив це число до дев'яти. Тут в історії починається найцікавіше - про відкриття Джеймса написав журнал Scientific American. Статтю побачила Мардж Райс, американська домогосподарка і за сумісництвом математик-аматор. Розробивши власну систему запису п'ятикутних замощення вона за 10 років довела їх кількість до 14.
Зображення: Wikimedia Commons
І ось, нарешті, через 30 років вчені з Вашингтонського університету в Ботеллі відкрили 15-е замощення. Зробили вони це за допомогою комп'ютера: в цьому університеті проект за чисельним вивчення замощення за участю студентів ведеться вже кілька років. Один з учасників групи, Кейсі Манн визнається, що зроблено це було за допомогою досить великого перебору. Тобто ніякого серйозного просування за цим відкриттям не варто.
Замощення з єдиною опуклою плиткою - не єдині і, мабуть, не самі цікаві. Якщо дозволити використовувати в паркеті кілька плиток, то властивості замощення стануть цікавіше. Якщо всі ці плитки - правильні багатокутники, то вже для кінцевого набору плиток існує нескінченне число таких замощення.
Щоб отримати щось цікаве, можна спробувати звузити клас паркету. Таке звуження добре відомо і називається однорідними замощення. Однорідним називається паркет, в якому відповідним перетворенням площині (поворотом і зрушенням тобто) будь-яку вершину паркету можна перевести в будь-яку іншу. В якомусь сенсі в такому паркеті все вершини рівноправні, а глобальне пристрій паркету є наслідком його локальної структури.
Зауважимо, що згадувані раніше Платонова замощення є однорідними. Так ось, крім цих трьох існує ще вісім однорідних замощення, що складаються з правильних багатокутників. Їх ще називають архімедовим замощення.
Зображення: Wikimedia Commons
Нарешті, самий екзотичний клас - це неперіодичні і апериодические замощення. Як не дивно, але ці два терміни позначають різні класи математичних об'єктів. У першому випадку розбиття, про який йде мова, не повинно мати трансляційної симетрії. Це означає, що розбиття таке хитре, що немає вектора, зсув на який перекладав би це розбиття в себе.
Наведемо два таких неперіодичних прикладу. Перший паркет - це замощення сфінкса. Сфінксом називають неопуклих п'ятикутник, який виходить з шести правильних трикутників. Штука в тому, що і з чотирьох однакових сфінксів можна склеїти сфінкса, який буде подібний до (в сенсі подібних трикутників) вихідного. Повторюючи цей процес (як показано на цій ДІФКУ), можна побудувати самоподобна замощення площині.
Інший приклад непериодического паркету - замощення Фодерберга. Воно складається з неопуклих Дев'ятикутником. Замощення стартує з одного багатокутника, потім навколо двох його вершин неконгруентні багатокутники викладаються спіраллю. Згодом гілки спіралі розкручуються і виходить неперіодичне замощення.
Обидва приклади ріднить те, що в обох випадках з того ж набору плиток можна скласти періодичні замощення (це пропонується перевірити читачеві в якості завдання). Апериодическим замощуванням називається паркет, виконаний таким набором плиток, що з них не можна скласти жодне періодичне замощення. Саме, мабуть, відоме апериодическое замощення - це мозаїка Пенроуза, що складається з двох плиток.
Чи існують апериодические замощення з однієї плитки - це питання залишається відкритим. Єдине, що, як уже говорилося вище, якщо такі замощення і існують, то вони повинні бути п'ятикутними.
Зображення: Wikimedia Commons