© Flickr.com/Mike Zabrocki
Бджолині соти, кахель у ванній, плитка на дорозі і роботи нідерландського художника Мауріца Ешера - що між ними спільного? Здається, все вже здогадалися: візерунок, яким заповнюють простір без проміжків і без перекриттів. Такий малюнок можна побачити і на підлозі в Лабораторії математики Політехнічного музею.
Викладач лабораторії Зоя Захарова веде заняття циклу «Практична математика», одна з тем - замощення і паркети. «Насправді паркети - лише частина більш загальної проблеми упаковки, - каже вона. - Наприклад, якщо наші фігури будуть тривимірними, завдання полягає в тому, щоб скласти їх максимально щільно, з'ясувати, чи можливо це, і так далі. За великим рахунком, ця тема залишається дуже погано вивченою ».
А це вже не просто абстрактна математика і навіть не візерунки Ешера: від паркету можна перейти до цілком практичним науковим завданням. Скажімо, до упаковки мінеральних часток, від щільності яких залежать багато фізичні властивості піску і грунту.
Мозаїчні візерунки Альгамбри надихнули геометричне творчість Моріца Ешера
правильний паркет
Найпростіші паркети складаються з однакових правильних багатокутників, що мають однакові же сторони і кути. Щоб фігури стикалися в вершині, не залишаючи проміжків, їх сходяться кути повинні в сумі мати рівно 360 °, не більше і не менше.
У кожній вершині паркету може сходитися тільки ціле число фігур (і їх кутів), тому 360 ° повинні остачі ділитися на величину їх внутрішнього кута. Ця величина дорівнює 180 ° * (n-2) / n, де n - число вершин правильної фігури. Наприклад, для рівностороннього трикутника - 180 ° * (3-2) / 3 = 60 °, а для чотирикутного квадрата - 90 °.
Виходить, що 360 ° / (180 ° * (n-2) / n) має бути цілим числом. Це відношення можна спростити до 2 * n / (n-2) і порахувати, що під головне паркетне правило підходять лише кілька правильних фігур - трикутники, чотирикутники (квадрати) і шестикутники ( «стільники»). Ні п'яти-, ні восьмикутниками, на жаль, правильно вулицю не замостити.
Моріц Ешер, «Два птахи (№18)», 1938 р Wikimedia
Мозаїка Пенроуза і плитка Політеху
Використовуючи дві або більше фігур, можна замостити Напівправильні паркет, а за допомогою нехитрих розрахунків - показати, що на площині їх існує рівно вісім штук. Втім, правильними многогранниками геометрія не обмежується. Якщо ми не станемо упиратися в такі фігурами, а зможемо використовувати будь-які, можливих паркету стане безліч.
Ми можемо відмовитися навіть від симетрії перенесення, викладаючи плитку складним візерунком: якщо таку картинку куди-небудь зрушити, вона ніколи не співпаде з вихідної. Такі неперіодичні паркети можна викладати за допомогою самих різних фігур.
Класичні дослідження на цю тему в другій половині ХХ століття провів знаменитий англійський математик Роджер Пенроуз, який окреслив три типи мозаїк, в яких використовується від двох до шести різних фігур, замощающіх площину без проміжків, при цьому малюнок не повторюється ніколи. У мозаїці Пенроуза неможливо знайти «мінімальний» малюнок, який, будучи скопірованим, замостив б площину без проміжків. Тим дивніше, що сама мозаїка, не повторюючись, замощает її цілком.
Третій тип мозаїки Пенроуза (Р3) будується з плиток двох типів. Головне тут - обмеження на можливі поєднання сусідніх ромбів, які фізично реалізовані у вигляді виступів і западин на їх ребрах
Пол в лабораторії математики Політехнічного музею - відмінна ілюстрація непериодического паркету, складеного трьома типами фігур, - двома видами неправильних п'ятикутників і одним шестикутником. На перший погляд може здатися, що плитки складені хаотичним, випадковим чином. Насправді вони ретельно підібрані; майстрам-плиточника довелося попотіти, викладаючи візерунок.
Втім, математикам було ще складніше. Десятиліття досліджень потрібні були, щоб знайти всього три фігури, з яких можна зібрати неперіодична малюнок. Цей візерунок був знайдений Робертом Амманном лише в 1977 році. «Амманн отримав свій паркет з ромбів Пенроуза, відстеживши траєкторії деяких точок, - додає Зоя Захарова. - При цьому з ромбів Пенроуза можна скласти не тільки неперіодична, але і періодичний паркет. А ось Амманн розвинув рішення Пенроуза: з його набору періодичний паркет скласти неможливо ».
Неперіодичний паркет в лабораторії математики викладений за схемою, запропонованою Робертом Амманном в 1977 році