можна побудувати парне продовження \ (f \ left (x \ right): \) \ [> \ left (x \ right) = \ begin f \ left (\ right), - \ pi \ le x \ lt 0 \\ f \ left (\ right), 0 \ le x \ le \ pi \ end, \]
або побудувати непарне продовження \ (f \ left (x \ right): \) \ [> \ left (x \ right) = \ begin -f \ left (\ right), - \ pi \ le x \ lt 0 \\ f \ left (\ right), 0 \ le x \ le \ pi \ end. \]
У разі парної функції розкладання в ряд Фур'є описується виразом \ [> \ left (x \ right) = \ frac >> + \ sum \ limits _ ^ \ infty \ cos nx>, \] де \ [= \ frac \ int \ limits_0 ^ \ pi,> \; \; \] У разі непарної функції, відповідно, отримуємо \ [> \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ ^ \ infty \ sin nx>, \] де коефіцієнти розкладання рівні \ [= \ frac \ int \ limits_0 ^ \ pi,> \; \; \] Поняття парного і непарного продовження функції можна ввести і для неперіодичної функції. Нехай функція \ (f \ left (x \ right) \) визначена в інтервалі \ (\ left [\ right]. \) Використовуючи парне продовження даної функції на інтервал \ (\ left [\ right], \) отримаємо наступну формулу розкладання в ряд Фур'є: \ [> \ left (x \ right) = \ frac >> + \ sum \ limits _ ^ \ infty \ cos \ frac >>, \] де \ [= \ frac \ int \ limits_0 ^ L> dx >,> \; \; \] У разі непарного продовження відповідна формула має вигляд \ [> \ left (x \ right) = \ sum \ limits _ ^ \ infty \ sin \ frac >>, \] де коефіцієнти \ (\) рівні \ [= \ frac \ int \ limits_0 ^ L> dx>,> \; \; \]