, де М1k - визначник матриці (детермінант), отриманої з вихідної матріцивичерківаніем першого рядка і k - oго стовпчика. Слід звернути увагу на те, чтоопределітелі мають тільки квадратні матриці, тобто матриці, у яких число рядків дорівнює числу стовпців. Перша формула дозволяє обчислити визначник матриці по першому рядку, також справедлива формула обчислення визначника матриці по на одну:
Взагалі кажучи, визначник матриці може обчислюватися по будь-якому рядку або столбцуматріци, тобто справедлива формула:
Очевидно, що різні матриці можуть мати однакові визначники. Визначник одиничної матриці дорівнює 1. Для зазначеної матриці А число М1k називається додатковим мінор елемента матриці a1k. Таким чином, можна зробити висновок, що кожен елемент матриці має свій додатковий мінор. Додаткові мінори існують тільки в квадратних матрицях.
Додатковий мінор довільного елемента квадратної матриці aij равенопределітелю матриці, отриманої з вихідної матриці викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.
Обчислення визначників матриць четвертого і більш високого порядку призводить до великих обчислень, так як:
для знаходження визначника матриці першого порядку ми знаходимо один доданок, що складається з одного сомножителя;
для знаходження визначника матриці другого порядку потрібно обчислити алгебраїчну суму з двох доданків, де кожний доданок складається з добутку двох співмножників;
для знаходження визначника матриці третього порядку потрібно обчислити алгебраїчну суму з шести доданків, де кожний доданок складається з добутку трьох співмножників;
Для знаходження визначника матриці четвертого порядку потрібно обчислити алгебраїчну суму з двадцяти чотирьох доданків, де кожний доданок складається з твору чотирьох співмножників і т.д.
Визначити кількість доданків, для знаходження визначника матриці, в сумі алгебри, можна обчисливши факторіал:
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Властивості визначників матриць:
Визначник матриці не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок стовпцем з тим же номером, і навпаки (Транспонування).
| А | = | А | Т
Стовпці і рядки визначника матриці рівноправні, отже, властивості притаманні рядках виконуються і для стовпців.
При перестановці 2-х рядків або стовпців визначник матриці змінить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто .:
Визначник матриці, що має два однакових ряду, дорівнює нулю.
Загальний множник елементів будь-якого ряду визначника матриці можна винести за знак визначника.
Наслідки з властивостей № 3 і № 4:
Якщо всі елементи деякого ряду (рядки чи шпальти) пропорційні відповідним елементам паралельного ряду, то такий визначник матриці дорівнює нулю.
Якщо всі елементи якого-небудь рядка або стовпця визначника матриці дорівнюють нулю, то сам визначник матриці дорівнює нулю.
Якщо всі елементи якого-небудь рядка або стовпця визначника представлені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник матриці можна представити у вигляді суми 2-хопределітелей за формулою: