Той факт, що багато квадратні корені є ірраціональними числами. анітрохи не применшує їх значення, зокрема, число $ \ sqrt2 $ дуже часто використовується в різних інженерних і наукових розрахунках. Це число можна обчислити з тією точністю, яка необхідна в кожному конкретному випадку. Ви можете отримати це число з такою кількістю знаків після коми, на яке у вас вистачить терпіння.
Наприклад, число $ \ sqrt2 $ можна визначити з точністю до шести десяткових знаків: $ \ sqrt2 = 1,414214 $. Ця величина не дуже сильно відрізняється від істинного значення, оскільки $ 1,414214 \ times 1,414214 = +2,000001237796 $. Ця відповідь відрізняється від 2 на величину, ледь перевищує одну мільйонну. Тому значення $ \ sqrt2 $, рівне $ 1,414214 $, вважається цілком прийнятним для вирішення більшості практичних завдань. У тому випадку, коли потрібна велика точність, неважко отримати стільки значущих цифр після коми, скільки необхідно в даному випадку.
Однак якщо ви проявите рідкісне впертість і спробуєте витягувати квадратний корінь з числа $ \ sqrt2 $ до тих пір, поки не досягнете точного результату, ви ніколи не закінчите своєї роботи. Це нескінченний процес. Скільки б десяткових знаків після коми ви не одержали, завжди залишиться ще кілька.
Цей факт може вразити вас так само сильно, як і перетворення $ \ frac13 $ в нескінченну десяткову дріб $ 0,333333333 ... $ і так нескінченно або перетворення $ \ frac17 $ в $ +0,142857142857142857 ... $ і так далі нескінченно. На перший погляд може здатися, що ці нескінченні десяткові дроби і ірраціональні квадратного кореня - це явища одного порядку, але це зовсім не так. Адже у цих нескінченних дробів є дробовий еквівалент, в той час як у $ \ sqrt2 $ такого еквівалента немає. А чому, власне? Справа в тому, що десятковим еквівалентом $ \ frac13 $ і $ \ frac17 $, а також нескінченного числа інших дробів є періодичні нескінченні дробу.
У той же час десятковий еквівалент $ \ sqrt2 $ є неперіодичної дробом. Це твердження справедливо також для будь-якого ірраціонального числа.
Проблема полягає в тому, що будь-яка десяткова дріб, яка є наближеним значенням кореня квадратного з 2, являє собою неперіодичних дріб. Як далеко ми ні просунемося в розрахунках, будь-яка дріб, яку ми отримаємо, буде неперіодичної.
Уявіть собі дріб з величезною кількістю неперіодичних цифр після коми. Якщо раптом після мільйонної цифри вся послідовність десяткових знаків повториться, значить, десяткова дріб - періодична і для неї існує еквівалент у вигляді відношення цілих чисел. Якщо у дроби з величезною кількістю (мільярди або мільйони) неперіодичних десяткових знаків в якийсь момент з'являється нескінченна серія повторюваних цифр, наприклад $ ... 55555555555 ... $, це також означає, що дана дріб - періодична і для неї існує еквівалент у вигляді відношення цілих чисел.
Однак в разі ірраціональних чисел їх десяткові еквіваленти повністю неперіодичні і не можуть перетворитися в періодичні.
Зрозуміло, ви можете задати наступне питання: «А хто може знати і сказати напевно, що відбувається з дробом, скажімо, після трильйонного знака? Хто може гарантувати, що дріб не стане періодичної? »Існують способи неспростовно довести, що ірраціональні числа є непериодическими, але такі докази вимагають складного математичного апарату. Але якби раптом виявилося, що ірраціональне число стає періодичної дробом. це означало б повний крах основ математичних наук. І насправді це навряд чи можливо. Це вам не просто на рахунках кісточки перекидати з боку на бік, тут складна математична теорія.
Матеріали по темі:
Поділитися з друзями: