Кожне з раціональних чисел можна представити у вигляді
де m - ціле число, а n - натуральне число.
і т.п. є прикладами ірраціональних чисел.
Ірраціональні числа можна представити у вигляді дробу, чисельник якого є цілим числом, а знаменник натуральним числом.
При зверненні ірраціональних чисел в десяткові дроби виходять нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Безліч ірраціональних чисел нескінченно.
Безліч раціональних і ірраціональних чисел складають безліч речових (дійсних) чисел.
Безліч дійсних чисел позначають буквою R.
ірраціональність числа
Проведемо доказ ірраціональності числа методом «від супротивного». З цією метою припустимо, що число є раціональним числом. Тоді існує дріб виду
і така, у якій чисельник і знаменник є натуральними числами, що не мають простих загальних дільників.
Використовуючи це рівність, отримуємо:
Звідси випливає, що число m 2 є парним числом, а, значить, і число m є парним числом. Дійсно, якщо ми припустимо противне, тобто припустимо, що число m є непарним числом, то знайдеться таке ціле число k. яке задовольняє співвідношенню
тобто m є непарним числом. Отримане протиріччя доводить, що число m є парним числом. Значить, знайдеться таке ціле число k. яке задовольняє співвідношенню
Звідси випливає, що число n 2 є парним, а, значить, і число n є парним числом.
Отже, число m є парним, і число n є парним, значить, число 2 є загальним дільником чисельника і знаменника дробу
Отримане протиріччя доводить, що нескоротного дробу. задовольняє співвідношенню
не існує. Отже, число є ірраціональним числом, що й треба було довести.
Десяткові наближення ірраціональних чисел
з недоліком і з надлишком
Розберемо поняття десяткових наближень ірраціональних чисел з нестачею і з надлишком на конкретному прикладі. Для цього розглянемо ірраціональне число
Це число, як і будь-яке інше ірраціональне число, зображується нескінченної неперіодичної десятковим дробом.
Послідовністю десяткових наближень числа з недоліком називають послідовність кінцевих десяткових дробів, яка вийде, якщо у числа відкинути всі десяткові знаки, починаючи, спочатку з першого десяткового знака, потім з другого десяткового знака, потім з третього десяткового знака і т.д.
Якщо останній десятковий знак кожного десяткового наближення числа з недоліком збільшити на 1. то вийде десяткове наближення числа з надлишком.
Саме число розташовується між кожним своїм наближенням з недоліком і відповідним йому наближенням з надлишком.
Для числа виникає нескінченна послідовність десяткових наближень з недоліком і з надлишком, має такий вигляд:
Точно також можна побудувати послідовність десяткових наближень з недоліком і з надлишком для будь-якого ірраціонального числа.
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ (ДПА) з математики.
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ (ДПА) з математики, фізики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить