Зворотні функції (Приклад 3) Здравствуйте! Нам дана функція: f (x) = (х-1) ²-2.Область визначення в даному випадку обмежена: (х≤1) .Отже, у нас
є тільки ліва частина параболи,
ось вона зображена на рісунке.Как бачите, нам дана неповна парабола.Вот чому знайти функцію, зворотну даної буде кілька сложнее.Но ми труднощів не боїмося, так що давайте знайдемо зворотну функцію.І почнемо ми з того, що замість f (x) запишемо у.Ітак, у = f (x), а значить, у = (х-1) ²-2,
і ми знаємо, що це вірно для всіх значень х,
які менше або дорівнюють едініце.Сейчас у виражений через х.Чтоби визначити функцію, зворотну даної,
нам потрібно з цієї рівності висловити х через у, тобто знайти х.Ми повинні обмежити значення у.Еслі ми подивимося на графік цієї функції,
то, очевидно, що у приймає значення великі або рівні мінус 2.Давайте тут в дужках так і запишемо: у≥-2.Вот це у нас область значень даної функції,
тобто всі значення, які може приймати у.Ітак, давайте знайдемо х.Все, що нам потрібно, так це знайти функцію,
зворотний даної і переконатися в тому,
що вона підходить по області визначення і області значеній.Давайте додамо до обох частин виразу 2.У нас вийде: у + 2 = (х-1) ².Правільно, адже -2 + 2 = 0.А тепер ми повернемося до обмеження значень у,
оскільки зараз неясно, які значення х і у нас необходіми.Ітак, я запишу тут: для у≥-2.Также в дужках ми можемо записати, що х≤1.Ми ще повністю не з'ясували, які значення х і у нас потрібні,
так що, нехай ці дві умови побудуть здесь.Что у нас тут виходить?
Щоб знайти х, нам потрібно витягти корінь квадратний
з обох частин равенства.Посмотрім на праву частину: тут у нас вийде:
(Х-1), саме для цього ми і витягували корінь квадратний.Ми так і хотіли, щоб тут у нас було просте вираження (х-1) .А тепер питання: (х-1) - це позитивне чи негативне число?
Зверніть увагу, тут у нас обмеження значень х:
х повинен бути менше або дорівнює едініце.Следовательно, в даному випадку ми маємо справу лише з тими значеннями х,
які менше або дорівнюють едініце.А значить, ось цей вислів буде отріцательним.Такім чином, ми повинні взяти негативний корень.Давайте тут разберемся.Еслі, припустимо, я візьму число мінус 3, то (-3) ² = 9.Давайте винесемо квадратний корінь з обох частин цього равенства.Цель цього вилучення - повернутися до мінус 3.Значіт, якщо ми візьмемо позитивний корінь квадратний, то у нас вийде: 3 = 3.Но нам потрібно повернутися до мінус 3.Нам потрібно отримати негативний квадратний корень.Теперь повернемося до нашої функціі.Здесь у нас вираз негативних е,
отже, ми повинні повернутися до цього висловом, тобто до (х-1) .Отже, нам треба витягти негативний квадратний корінь
з обох частин равенства.Каждий квадрат має два кореня, позитивний і отріцательний.Но в даному випадку нам потрібен негативний корінь,
так як цей вислів ось тут у нас отріцательное.Ітак, давайте винесемо негативний корінь квадратний
з обох частин равенства.Ми отримаємо: -√ (у + 2) одно ...,
а тут я зроблю додатковий крок, щоб ви всі зрозуміли, і запишу:
одно -√ (х-1) ²для у≥-2 і х≤1.Вот чому ми витягували негативний корінь квадратний.Далее ми переписуємо ліву частину без змін: -√ (у + 2) .А в правій частині замість -√ ( х-1) ² ми записуємо просто (х-1) .Вираженіе (х-1) в квадраті має якесь позитивне значеніе.Отріцательний корінь квадратний з цього виразу
є негативним числом, яке потрібно звести в квадрат.Здесь вийде просто (х-1) .Сподіваюся, я вас не сильно запутала.Із цього ось квадрата
нам треба отримати негативне, а не позитивне значення,
тому ми записуємо (х-1),
оскільки значення цього виразу отріцательное.А тут ми повинні дописати: для у≥-2.Ітак, нам треба знайти х, а значить,
давайте додамо 1 до обох частин равенства.Еслі ми додамо 1 до обох частин, то у нас вийде:
-√ (у + 2) + 1 = х для у≥-2.Давайте тепер це запишемо в стандартному вигляді:
х = -√ (у + 2) +1 для у≥-2.А якщо ми хочемо записати це як зворотну функцію f-¹ (у),
то f-¹ (у) = х, а значить, f-¹ (у) = - √ (у + 2) +1 для у≥-2.Ну, а якщо нам треба це записати через х,
тобто перейменувати f-¹ (у) в f-¹ (х),
то нам потрібно все у- поміняти на х.
Отже, f-¹ (х) = - √ (х + 2) +1, для х≥-2.Теперь давайте намалюємо графік зворотного функціі..До швидкої зустрічі!
****************
Мені не зрозумілий ось цей процес, чому ми отримали негативний квадратний корінь? -√ (у + 2) адже при х≤1 1-1 = 0, а 0 це не негативне число? Помогите плиз:
Зрозуміло.
Якщо це текст з мережі, то, думаю, можна без натяків висловити свою думку про нього.
По-моєму, це кошмар. Можливо, справа в перекладі. Але навряд чи.
Краще візьміть будь-який підручник і прочитайте що таке зворотна функція. Просто визначення.
А потім самостійно, користуючись визначенням, знайдіть зворотну функцію для функції у = (х-1) ²-2,
заданої на множині х≤1.
Я подивився "кіно" за посиланням, зазначеної в # 3, і прийшов в жах.
Краще цим сайтом не користуватися.
Приєднуюся до думки Юлії Сергіївни.
Кошмаром в цьому "кіно" є все від початку до кінця,
але я проаналізую два конкретних моменти:
1) "Область визначення в даному випадку обмежена: (х<=1).
Отже, у нас є тільки ліва частина параболи, ось вона
зображена на малюнку. Як бачите, нам дана неповна парабола.
Ось чому знайти функцію, зворотну даної буде трохи складніше. "
2) "Щоб знайти х, нам потрібно витягти
корінь квадратний з обох частин рівності.
Подивимося на праву частину: тут у нас вийде: (х-1). "
Це груба помилка.
Якщо допускати два значення кореня, як, наприклад, це відбувається
в теорії функцій комплексної змінної (яку вивчають у вузах),
то вийде не тільки (х-1), а й - (х-1).
Згадувати при цьому тільки (х-1) - помилка.
Якщо ж ми перебуваємо в рамках шкільної математики, то під значенням
кореня розуміється арифметично (а іншими словами - ПОЗИТИВНА)
значення кореня.
Правильним буде використання знака модуля: | х-1 |.
Якщо ж врахувати, що х-1<0, то модуль раскрывается так:
| Х-1 | = - (х-1) = 1-х.
Тобто, і в цьому випадку говорити, що вийде (х-1) - помилка.
"Khan Academy (Академія Хана) виконує важливу місію.
Ми є некомерційною організацією, яка прагне
змінити освіту на краще, забезпечуючи через Інтернет
безкоштовне та якісне навчання всюди і для кожного. "
Серед розділів є і економіка, і хімія, і біологія, і фізика.
Розбирається рівняння 3sin ^ 2 (x) = 1 + cos (x).
Воно зводиться до вирішення двох рівнянь: cos (x) = - 1 і cos (x) = 2/3.
А далі починається найцікавіше.
Виявляється, перше з них має (ЄДИНИЙ!) Корінь "пі",
а друге - (ЄДИНИЙ!) корінь 0.84106.
Щоб відповісти на конкретне повідомлення, потрібно натиснути на посилання «відповісти» праворуч під самим повідомленням.
Ця форма - для відповідей на вихідне повідомлення теми (на всю тему в цілому).