Визнач ?? ення. Підмножина кільця прийнято називати подкольцом кільця і позначається, в разі якщо є кільцем відносно операцій додавання і множення, определ ?? енних в кільці.
У кожному кільці, очевидно, існують такі подкольца:
· Нульове кільце, де.
Для з'ясування, чи є дана підмножина кільця подкольцом цього кільця, можна скористатися наступною теоремою.
Теорема. Для того, щоб непорожнє підмножина кільця було його подкольцом, вкрай важливо і досить виконання наступних двох умов:
(- підгрупа адитивної групи кільця);
(- подполугруппа мультипликативной напівгрупи кільця).
Доведення. Доведемо вкрай важливо сть умов.
Припустимо, що - подкольцо кільця.
Нехай і - довільні елементи підмножини.
Тоді кожен з елементів
кільця міститься в:
якби принаймні один з них не утримувався б в, то підмножина не було б кільцем щодо операцій, определ ?? енних на, і, отже, не було б подкольцом кільця.
Доведемо достатність умов. Припустимо, що підмножина задовольняє умовам теореми.
Тоді в підмножині определ ?? ено поняття суми і твори, ᴛ.ᴇ. на підмножині определ ?? єни операції додавання і множення.
Ці операції на підмножині асоціативні, комутативні і пов'язані дистрибутивним законом:
Нульовий елемент 0 міститься в і для зворотний (протилежний) елемент.
Дійсно, нехай - довільний елемент підмножини.
Тоді ᴛ.ᴇ. і, ᴛ.ᴇ. .
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, підмножина є кільцем відносно операцій додавання і множення, определ ?? енних на і, отже, є подкольцом кільця.
Приклади. 1. Кільце парних цілих чисел є подкольцом кільця цілих чисел -.
2. Кільце цілих чисел є подкольцом кільця раціональних чисел -.
3. Кільце раціональних чисел і кільце, де, як і раніше, - безліч чисел виду, є подкольца кільця дійсних чисел -.
Для будь-якого сімейства подколец довільного кільця справедливо наступне твердження.
Теорема. Перетин будь-якого сімейства подколец кільця є подкольцом кільця:
Доведення. Нульовий елемент 0 кільця міститься в кожному з подколец, і, отже, міститься в їх перетині.
У разі якщо - кільце з одиницею, то кожне подкольцо кільця також буде містити одиницю кільця, і, отже, і їх перетин буде містити одиницю кільця.
Нехай - довільні елементи, що належать. Елементи і, очевидно, містяться в кожному з подколец.
За определ ?? енію кільця, елементи і також містяться в кожному з подколец, отже - задовольняє аксіомам кільця і є подкольцом кільця.
Нехай, як і раніше, довільне безліч міститься в кожному з подколец кільця:
тоді можна визначити мінімальну подкольцо, що містить заданий безліч:
У разі якщо - подкольцо кільця, то.