Методичні вказівки для вирішення завдань і контрольні завдання
Укладач О.М. ПОДСВІРОВ
Омськ
Рецензент - канд. техн. наук, доц. зав. кафедрою «Дорожні машини» В.Г. водобоя
Робота схвалена методичною комісією факультету ДМ в якості методичних вказівок для студентів усіх спеціальностей
Методичні вказівки для вирішення завдань і контрольні завдання з теоретичної механіки (розділ «Статика») складаються з умов завдань і вка-заний до їх вирішення типовими методами теоретичної механіки. У мето-дических вказівках наведені короткий теоретичний огляд і приклади розв'язання задач. Завдання служать для контролю знань, набутих під час виконання домашніх завдань, захисту курсових робіт студентами строї-них, машинно-транспортних, приладобудівних та дорожньо-строї-них спеціальностей вищих навчальних закладів.
Методичні вказівки для вирішення завдань з теоретичної механіки (розділ «Статика») складаються з умов завдань і вказівок до їх вирішення типовими методами теоретичної механіки. У методичних указу-пах наведені короткий теоретичний огляд і приклади розв'язання задач.
При вирішенні завдань необхідно виконати наступні етапи:
а) зобразити інженерну розрахункову схему (звільнити систему від
зв'язків і замінити їх реакціями);
б) записати рівняння рівноваги, відповідні діючої
системі сил;
в) вирішити повністю задачу з отриманням цифрового відповіді.
Завдання служать для контролю знань, набутих при виконанні
домашніх завдань, захисту курсових робіт.
ОСНОВНІ ТИПИ І РЕАКЦІЇ ЗВ'ЯЗКІВ
У механіці все тіла діляться на вільні та невільні. Тіло, яке було скріплене з іншими тілами і може здійснювати будь-які переміщення в просторі, називається вільним. Положення Несвіт-Бодня тел розглядається в плоскій системі координат OXY і просторової системі координат OXYZ. Вільні тіла мають шість ступенів свободи: рух уздовж осей координат - вперед і назад це три ступені свободи; обертання навколо осей координат за годинниковою стрілкою і назад - це ще три ступені свободи. У більшості інженерні-нерного завдань зустрічаються невільні тверді тіла, що мають закреп-лення або дотику. Зіткнення одного тіла з іншим або закріплення одного тіла до іншого, однієї системи тіл з іншого позбавляє їх ступенів свободи. Матеріальне тіло, що накладає обмеження на переміщення даного тіла в просторі, по відношенню до цього тіла називається зв'язком. Силу, з якою зв'язок діє на тіло, називають реакцією зв'язку. Залежно від характеру закріплення тіла розрізняють наступні види зв'язків.
У площині OXY - нерухоме шарнірне з'єднання (зв'язок) Ra.
,Ya можуть бути спрямовані і в протилежні сторони. При цьому, якщо напрямок реакції вибрано правильно, то в результаті розрахунку вона виходить зі маком плюс, в іншому випадку - зі знаком мінус. У наступних математичних розрахунках реакції Ха, Ya викорис-товують з отриманими знаками (плюс або мінус). Неправильно вибране попереднє напрямок реакції в подальших розрахунках при підстановці модуля з його знаком в математичні вирази вчи-розробляються алгебраїчно. Насправді реакція буде направлена в протилежну сторону. Визначивши реакції Ха, Ya, знаходять модуль рівнодійної Ra і її напрямні косинуси.
Умовні позначення нерухомого шарнірного з'єднання тіл, показані на рис. 1, 2, 3, 4, застосовуються в теоретичній механіці, будівельної механіки і опорі матеріалів.
РУХЛИВИЙ шарнірних з'єднань (ОДНОБІЧНА ЗВ'ЯЗОК)
Балка може обертатися на шарнірі А в площині XY і переміщатися разом з шарнірно-рухомою опорою по горизонталі. Інших ступенів свободи у неї немає. Тому реакція Ya перпендикулярна до опорної поверхні, уздовж якої може переміщатися шарнірно-рухома опора. Умовні позначення рухомого шарнірного з'єднання тіл,
показані на рис. 5 і 6, застосовуються в теоретичній механіці, показане на рис. 7 з'єднання застосовується в будівельній механіці і опорі матеріалів.
Гнучка нерозтяжна ЗВ'ЯЗОК (НИТКА)
Гнучка нерозтяжна зв'язок (нитка) (рис.11 і 12) сприймає навантаження тільки на розтягнення.
СТЕРЖНЬОВА ЗВ'ЯЗОК (ЖОРСТКИЙ СТЕРЖЕНЬ з шарнірами на кінцях)
Балка АВ (рис. 13) утримується трьома жорсткими невагомими стерж-нями і сприймає навантаження тільки уздовж прямої, що з'єднує її шарніри. Тому реакції Ra, Rb, Rc спрямовані по цій прямій.
Жорстка закладення (ПЛОСКА защемлення
Один кінець балки замурований (затисненого), інший кінець балки вільний. Така балка називається консольної (рис.14). Зв'язок не допускає ніяких переміщень уздовж координатних осей, а також перешкоджає повороту балки в площині X, Y. Реакції направляються уздовж координатних осей, а реактивний момент Ма, що утримує балку від повороту в площині X, Y, може бути направлений за годинниковою або проти годинникової стрілки (рис. 14, 15, 16).
Гладка зв'язок - це тіло, тертя якого про дане тіло не враховується.
У всіх випадках (рис. 17-24) є точка контакту з гладкою поверх-ністю, площиною, лінією. Реакція зв'язку буде направлена з точки дотику перпендикулярно до поверхні, площини, лінії - по нормалі.
а її напрямні косинуси визначаться формулами
ЖОРСТКА ПЛОСКАЯ закладення, допускається
РУХЛИВІСТЬ БАЛКИ В ОДНОМУ НАПРЯМКУ
Зв'язок допускає рухливість в заданому напрямку. Реакції мають напрямки в залежності від діючих сил і позбавлених ступенів свободи (рис. 25, 26).
На рис. 27 зображена стрижнева зв'язок, яка має обертальну ступінь свободи. При будь-яких навантаженнях в площині на балку А - реакції будуть спрямовані уздовж стрижневих зв'язків ВС і КМ.
на рис. 28 зображена змінна закладення, має ступінь свободи по осі X і позбавлена ступеня свободи по осі Y. Цей зв'язок також утримує балку від повороту в площині. Така змінна закладення ви-викликають реакцію Ra і реактивний момент Ма.
На рис. 29 зображена змінна закладення, що має ступені свободи по осях OX, OY і утримує балку від повороту в площині XY. Ця змінна закладення створює тільки реактивний момент Ма.
На рис. 31 наведено подпятник (поєднання циліндричного шарніра з опорною поверхнею). Реакція подпятника може мати будь-який направ-ня в просторі. У загальному випадку реакцію показують трьома склад-рами Хо, Yo, Zo і двома реактивними моментами щодо осей XnY.
ПРОЕКЦІЯ СИЛИ НА ОСІ КООРДИНАТ
Проекції сили Р (рис. 32) на осі координує ДИНАТ OX, OY визначаються за формулами
Знаючи проекції сили Р на координат-ні осі, можна визначити модуль цієї сили і її напрямок але напрямних косинусам.
МОМЕНТ СИЛИ ЩОДО ТОЧКИ
Моментом сили відносно точки (рис. 33) називається вироб-ведення модуля сили на плече сили відносно цієї точки. Плечомсіли щодо точки називається довжина перпендикуляра, проведеного з точки на лінію дії сили. Точка вибирається нами довільно з урахуванням умов: з зручності обчислення довжини плеча, з найменшої кількості невідомих, що містяться в рівнянні. Якщо вектор сили Р і плече (разом узяті) обертаються щодо обраної точки проти годинникової стрілки, то момент береться зі знаком плюс, якщо в протилежному напрямку - зі знаком мінус.
МОМЕНТ ПАРИ СИЛ
Парою сил називають систему двох рівних по модулю паралельних сил, спрямованих в протилежні сторони (не по одній прямій). Алгебраїчним моментом пари сип називається взяте з певним знаком твір модуля однієї з сил пари на найкоротша відстань між лініями дії пари сил. Алгебраїчний момент пари сил вважають позитивним, якщо пара сил обертає тіло проти руху годинникової стрілки, негативним - при протилежному умови.
Умовні позначення моментів пар сил, наведені на рис. 34, 35, рівноцінні. Найкоротша відстань між лініями дії сил d \, di називають плечем пари сил.
переміщати в площині її дії;
переносити в будь-яку площину даного тіла, паралельну плос-
кістки дії цієї пари сил;
змінювати модуль сили, плече пари сил, але так, щоб її момент і
напрямок обертання залишалися незмінними;
віднімати або складати, якщо пари сил еквівалентні, тобто вони по
модулю і знаку однакові;
площині або паралельних площинах, якщо воно еквівалентно одній
рівнодіюча парі сил, момент якої дорівнює сумі алгебри
моментів доданків пар сил даного тіла:
алгебраїчно скласти моменти всіх еквівалентних пар. якщо
сума дорівнює нулю то тіло знаходиться в стані рівноваги і
спокою.
РОЗКЛАДАННЯ СИЛИ НА ДВІ СКЛАДОВІ
Будь-яку силу можна розкласти на дві складові по координат-
вим осях в точках А, С, D (рис. 36).
Силу Р можна розкласти на дві складові по заданих направ-
леніям АВ, CD (рис. 37).
Силу Р можна розкласти на дві складові по заданому
модулю однією зі складових і напрямку АВ з подальшим
визначенням складової Pi і кута (3 (рис. 38).
Силу Р можна розкласти на дві складові по заданих
модулів Р \, Рг з подальшим визначенням кутів а і [3 (рис. 39).
Завдання про розкладанні рівнодіюча на складові у всіх випадках можна вирішувати графічно, виконуючи побудови в масштабі.
Рівняння РІВНОВАГИ ПЛОСКОЇ ДОВІЛЬНОЇ СИСТЕМИ СИЛ
Для того щоб тіло знаходилося в стані спокою, рівноваги або рівномірного прямолінійного руху, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій всіх сил на координатні осі і алгебраїчна сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що лежить в площині дії сил, дорівнювали нулю.
Кожне рівняння рівноваги накладає одну зв'язок, тобто позбавляє тіло одного ступеня свободи, три рівняння позбавляють тіло трьох ступенів свободи, роблять тіло нерухомим в площині.
Вільне тіло в площині має три ступені свободи:
Поступальний рух уздовж осі Х вперед і назад.
Поступальний рух уздовж осі Y- вперед і назад.
Обертання тіла в площині.
РІШЕННЯ ЗАДАЧ на плоскій довільно СИСТЕМУ СИЛ
На балку АВ (рис. 40, а) діє сила Р в точці прикладання С. Визначити реакції зв'язків.
Для вирішення завдання необхідно створити розрахункову схему. Для цього звільнимося від зв'язків в точках А і В, замінивши їх реакціями Ха, Ya, Yb (рис. 40, б). Надалі зображення буде проводитися у вигляді рис. 40, ст. Тут є три невідомих Ха, Ya, Yb, для їх визначення вибирається система координат (х, у) і складаються три рівняння одно-весия, що визначають три реакції.
Сума проекцій всіх сил на вісь У має вигляд
Суму проекцій всіх сил на вісь X визначають формулою
Складають рівняння суми моментів всіх сил щодо обраної точки.
Точку можна вибрати А, при цьому дві реакції Ха і У а в рівняння не увійдуть, тому що у них плечі дорівнюють нулю. У рівняння входить одна невідома реакція Ув. Можна вибрати точку В, при цьому дві реакції Ха в Ув в рівняння не увійдуть, тому що у них плечі дорівнюють нулю. У рівняння входить одна невідома реакція Ya. Зупинимося, наприклад, на точці А.
Приклад рішення задачі на тему «Рівновага одного твердого тіла»
На балку, що спирається на шарнірну нерухому опору в точці А і стрижневу зв'язок в точці С, діють сили Р \ = 30 кН; Рг = 20 кН; Рг = 50 кН і пара сил з моментом М - 150 кН-м. Визначити реакції зв'язків в точках А і С (Рис. 41)
Рішення. Розглянемо рівновагу балки. До неї включені активні сили P1, P2, Р3 і пара сил з моментом М. Звільнившись від зв'язків і замінивши їх реакціями зв'язків, отримують розрахункову схему. Вибирається система відліку і складаються рівняння рівноваги.
З рівняння (4) знаходимо Ха:
ЗАВДАННЯ НА ТЕМУ РІВНОВАГИ ОДНОГО ТВЕРДОГО ТІЛА
Методичні вказівки до ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
При вирішенні задачі про рівновагу одного твердого тіла рекомендується дотримуватися наступної послідовності.
Виділити тіло, рівновагу якого розглядається.
Звільнитися від зв'язків і замінити їх відповідними реакціями.
Вибрати систему відліку.
Скласти рівняння рівноваги, що визначають реакції зв'язків.
Вирішити систему рівнянь рівноваги, визначити невідомі реак-
ції зв'язків.
№1
Дано: Р = 8 кН; М = 12 кН-м; 9 = 1,2 кН / м. Визначити реак-ції зв'язків в точках AіC.
Дано: Р = 9 кН; М = 14кН-м;? = 1,1кН / м. Визначити реакції зв'язків в точках А і В.
Дано: P1 = 6 кН; Р2 = 8 кН; М = 14 кН-м. Визначити реакції зв'язків в точках А і В.