У більшості випадків для отримання результату треба зробити ряд прямих вимірювань інших величин, пов'язаних між собою певними формулами. Знаючи похибки, допущені при вимірах цих величин, що входять в формулу для визначення бажаного результату, необхідно визначити і похибка самого результату. Для знаходження абсолютних і відносних похибок непрямих вимірювань зручно користуватися такими правилами:
1) середні абсолютні помилки можна знаходити за правилами диференціювання, замінивши значок диференціювання (d) значком помилки (# 916;). Знаки (+ або -) при цьому треба вибирати так, щоб абсолютна помилка була max.
2) Відносну похибку результату можна знайти наступним чином: логарифмуючи вихідне вираз, а потім його диференціюючи, замінюючи в кінцевому підсумку значки d на значок # 916 ;. Знаки + і - знову - таки вибираємо таким чином, щоб абсолютна величина відносної помилки була б максимальною.
Проілюструємо знаходження # 916; N і Е непрямих вимірювань.
1. Яка Вимірюється величина знаходиться за формулою. Величини а, b і c знаходяться прямими вимірами і для них розраховуються # 916; а, # 916; b, # 916; c. Необхідно знайти абсолютну і відносну помилки величини N: # 916; N-? EN -?
для цього спочатку продифференцируем все вираз для N:
потім значки диференціювання замінюємо на # 916; і отримуємо абсолютну помилку # 916; N:
Тепер знайдемо Е, виходячи із значення # 916; N.
З цього прикладу видно, що тут простіше було б знайти відносну помилку, а потім абсолютну. Скажемо відразу, що у всіх тих випадках, коли шукана величина є твір і дріб величин, виміряних безпосередньо на досвіді, зручніше і легше знаходити в першу чергу відносну похибку, а потім абсолютну. Справді:
lnN = ln2 + lna + 2lnb-3lnc. після диференціювання, заміни значків диференціювання на # 916; і зміни знаків так, щоб помилка була максимальна отримуємо
А тепер, якщо потрібно, можна знайти і # 916; N, знаючи, що # 916; N = Е # 8729; N.
ВИВЧЕННЯ ВИМІРЮВАЛЬНИХ ПРИЛАДІВ
Часто при вимірюванні довжини будь-якого тіла довжина його не вкладається в ціле число поділок масштабу. Для того щоб можна було поручитися за лінійних вимірах і за десяті частки масштабу (а іноді і за соті), користуються ноніусом.
Ноніус - це додаткова шкала до основного масштабу (лінійному або круговому), що дозволяє підвищить точність вимірювання з даними масштабом в 10, 20 і більше число раз.
Ноніуси бувають лінійні і кругові, прямі і зворотні, нерозтягнутому і розтягнуті.
Лінійний ноніус є невеликою лінійку (шкалу), що ковзає уздовж більшої масштабної лінійки (рис.2). Як видно з рис.1, 10 поділок ноніуса відповідають 9 контрольними позначками основного масштабу. У разі прямого нерастянутого ноніуса, який ми розглядаємо, одну поділку ноніуса коротше одного ділення масштабу на величину # 916 ;, яка називається точністю ноніуса. точність ноніуса # 916; є різницею довжин поділів основного масштабу і ноніуса і легко може бути визначена, якщо ми знаємо число поділок ноніуса n і довжину найменшого ділення масштабу # 945; m
Довжина відрізка, яка вимірюється за допомогою ноніуса, буде дорівнює числу цілих поділок масштабу до нуля ноніуса плюс точність ноніуса, помножена на номер його розподілу, що збігається з деяким розподілом масштабу. На рис.3 довжина тіла дорівнює 13 - ти цілим і 3-м десятих, так як збігається з поділами масштабу 3 - тє розподіл ноніуса.
Похибка, яка може виникнути при такому методі відліку, буде обумовлюватися неточним збіг поділки ноніуса з одним з ділень масштабу, і величина її не перевищуватиме, очевидно,. Таким чином, можна сказати, що похибка ноніуса дорівнює половині його точності.
Щоб легше було помітити, яке ділення ноніуса збігається з будь-яким розподілом основної шкали, на практиці роблять ноніуси розтягнутими. Прямий розтягнутий ноніус вийде, якщо довжина одного ділення ноніуса буде коротше не одного похибкою зважування масштабу (як ми вважали досі), а двох, трьох і т.д. найменших поділок його.
Точність ноніуса в цьому випадку визначається за тією ж формулою.
Круговий ноніус в принципі нічим не відрізняється від лінійного. Він являє собою невелику дугову лінійку, що ковзає уздовж кола лімба, розділеного на градуси або на частки градуса (рис. 4). Точність кругового ноніуса зазвичай виражається в хвилинах.
Часто кругові ноніуси в приладах, в яких необхідно відрахувати кути в обох напрямках (за годинниковою стрілкою або проти неї), складаються з двох абсолютно однакових шкал, розташованих по обидві сторони від нуля. Легко уявити, що при відліку слід завжди користуватися тією шкалою, яка йде вперед у напрямку відліків.
Дуже часто в кругових ноніус # 945; м = 0,5 о = 30 хвилин. а n дорівнює 15 або 30, в такому випадку точність ноніуса, відповідно дорівнює двом хвилинам або одній хвилині.
У лабораторній практиці для виміру довжин, площ і обсягів найбільш поширеними приладами є штангенциркуль і мікрометр.
Штангенциркуль (рис.5) служить для лінійних вимірювань, що не вимагають високої точності.
Відліковим пристроєм у всіх конструкцій штангенциркулів служить основна масштабна шкала штанги 1, ціна ділення якої 1 мм, і лінійний ноніус на рухомий рамці 2. Він являє собою невелику лінійку, що ковзає уздовж основного масштабу. На цій лінійці нанесена маленька шкала, що складається з m поділок.
При нульовому показанні інструменту нуль ноніуса збігається з нульовим штрихом основної шкали. При вимірі рухлива рамка з ноніусом зміщується і предмет затискається губками 3 штангенциркуля. Так як ціна поділки ноніуса не дорівнює ціні поділки масштабу, то обов'язково знайдеться на ньому такий розподіл, яке буде найближче підходити до якогось поділу масштабу.
Правило відліку можна сформулювати наступним чином: довжина предмета, вимірюваного за допомогою ноніуса, дорівнює числу цілих поділок масштабу плюс точність ноніуса, помножена на номер поділки ноніуса, що збігається з деяким розподілом масштабу. У лабораторній практиці зазвичай використовуються штангенциркулі з точністю 0,1 і 0,05 мм, яка вказується на приладі.
Для вимірювання внутрішніх розмірів тіл служать зазвичай верхні загострені ніжки 4. Якщо ж штангенциркуль не має верхніх ніжок, то вимір внутрішніх розмірів проводиться тими ж ніжками, які служать для обміру зовнішніх розмірів тіла; в цьому випадку необхідно враховувати товщину ніжок штангенциркуля, яка вказується на самому інструменту. Деякі штангенциркулі забезпечуються лінійкою 5, що служить для вимірювання глибин.
У лабораторній практиці широко використовуються також кругові ноніуси в різних приладах для вимірювання кутів.
Мікрометр (рис.6) служить для вимірювань діаметрів дротів, невеликих товщин платівок і т.п. Він має вигляд лещат і при вимірюванні предмет затискається між нерухливим стрижнем 1 і рухомим торцем мікрометричного гвинта 2. мікрогвинти обертають, тримаючись за Трещетка 3. На стрижні мікровінта укріплений барабан 4, з нанесеною на ньому шкалою, що має 50 поділок. Відлік ведеться по горизонтальній шкалою 5 і за шкалою барабана. Хід гвинта (поступальне переміщення барабана і стержня 2 при вчиненні одного обороту гвинта) дорівнює 0,5 мм. Це означає, що ціна поділки барабана 0,01 мм. Слід звернути увагу, що вище основної міліметрової шкали є додаткова лінійна шкала, зміщена щодо основної на 0,5 мм.
Перш ніж користуватися мікрометрів, необхідно переконатися, що мікрометр виправлений - нулі його шкал співпадають. Вимірюваний предмет поміщають між стрижнем 1 і гвинтом 2. Потім, обертаючи гвинт за головку 3, доводять його до зіткнення з предметом. Момент затиснення фіксується тріском. Після цього тріска подальше обертання головки 3 марно, а барабана 4 неприпустимо. Відлік проводять за шкалами: міліметри по основній лінійної шкалою, долі міліметра за шкалою на барабані. При відліку необхідно враховувати, чи з'явилася половинка поділу верхньої шкали після останнього перед краєм барабана поділу нижньої основної шкали чи ні. На рис.7 крупним планом показані шкали мікрометра. Як видно з рис.7 (зліва), коли край барабана перейшов нижню ризику, відповідну 6,00 мм, а ризику верхньої шкали, хоч я знаю, то довжина вимірюваного предмета дорівнює 6,15 мм. Коли ж край барабана перейшов верхню ризику (рис.7, праворуч), відповідну 6,50 мм, то довжина вимірюваного предмета дорівнює 6,65 мм. Неважко зрозуміти, що ціна поділки барабана, що дорівнює 0,01 мм, і є точністю приладу, яка вказується на мікрометрі.