Головна nbsp> nbsp Wiki-підручник nbsp> nbsp Математика nbsp> nbsp11 клас nbsp> nbspПроізводная і первісна логарифмічною функції: приклади і алгоритм
Перед тим, як приступити до розбору похідною і первісної логарифмічною функції, покажемо, що вона буде диференційована в кожній точці. Як вже відомо, графіки функцій y = loga (x) і y = a x симетричні відносно прямої має заданої формулою y = x.
Тут і далі для позначення логарифма ми будемо використовувати наступну нотацію: loga (b) - даний запис буде позначати логарифм b по підставі а.
Показова функція диференційована в будь-якій точці своєї області визначення. Похідна показовою функції не звертається в нуль. Отже, графік показовою функції, в кожній точці через яку він проходить, має негоризонтального дотичну.
Отже, графік логарифмічною функції має в кожній точці, через яку він проходить невертикальною дотичну. З цього факту можна зробити висновок, що логарифмічна функція диференційована на всій своїй області визначення.
Формула для обчислення похідної логарифмічної функції: ln '(x) = 1 / x. Дана формула буде справедлива для будь-якого х з області визначення логарифмічної функції.
Приклад 1. Знайти похідну функції y = ln (5 + 2 * x). За формулою, наведеною вище, маємо:
Приклад 2. Знайти похідну функції y = log3 (x). Скористаємося формулою переходу до нового основи, а потім формулою отриманої вище:
Первісна логарифмічною функції
Відповідно до формули для обчислення похідної логарифмічної функції, можемо стверджувати, що для функції 1 / x на проміжку (0; ∞) будь-яка первісна може бути записана у вигляді ln (x) + C.
Так як | x | = Х при х> 0 і | x | = -x при xдля будь-якого проміжку, що не містить точку 0, первісною для функції 1 / х буде функція ln | x |.
Наприклад, первісна для функції 1 / (x + 3) на будь-якому проміжку що не містить точку х = -3, будуть обчислюватися за такою формулою | x + 3 | + C.
Для функції 1 / (5 * x + 7) на будь-якому проміжку, що не містить точку - (5/7), загальний вигляд первісних представлений формулою (1/5) * ln | 5 * x + 7 | + C.