"Приріст функції" - це те, наскільки зміниться значення функції f (x) при деякій зміні аргументу x, яке, в свою чергу, називається "приростом аргументу". Тобто, наприклад, є функція - квадрат числа, f (x) = х ^ 2. Якщо х0 = 2, а х1 = 3, то приріст аргументу буде х1-х0 = 1, а приріст функції для даного збільшення аргументу буде 9 - 4 = 5. Дане поняття є базовим для введення поняття "похідна функції", яке представляє собою відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні до нуля збільшення аргументу (x1 - x0 -> 0). Тобто в околиці точки х0, що приводить нас до другої частини питання.
Околиця точки - це все точки, які знаходяться від неї на відстані менше даного відстані r. У тривимірному просторі, наприклад, r-околицях точки х0 буде куля з центром в точці x0 і з радіусом r. Саме куля, а не сфера, тобто всі крапки ВСЕРЕДИНІ сфери з радіусом r. А як раз сама сфера з радіусом r НЕ буде відноситься до r-околиці, оскільки на відстані "менше r", а не "менше / одно r" (таку кулю називається "відкритим кулею"). Часто вживають поняття епсилон- околиці. Це означає, що радіус цієї кулі (наприклад) дорівнює епсилон. Зрозуміло, що це не обов'язково має бути тривимірний простір, це я просто для прикладу сказав. Це може бути коло (відкритий, тобто без самої окружності) або відрізок (без крайніх точок).
При визначенні похідної функції одного аргументу (я підозрюю, що питання пов'язане з цим), епсилон-околицях точки х0 - це як раз відрізок без крайніх точок довжиною в 2 епсилон і з центром в точці х0.