Нехай - поліноми з раціональними коефіцієнтами,. Позначимо корені.
Завдання. Для раціонального дробу знайти поліном c раціональними коефіцієнтами і такий, щоб
Зрозуміло, що ця постановка має сенс, якщо ні при одному. тобто поліноми і взаємно прості.
Особливий інтерес представляє випадок, коли неприводим над безліччю раціональних чисел.
Теорема.Прі условіівсегда існує поліном. вирішальний поставлене завдання. При условіітакой поліном визначається єдиним чином.
Доведення. Легко перевірити, що поліном. задовольняє тотожності Безу.
фактично визначає рішення задачі. На довільному корені полінома це тотожність перетворюється в рівність. Таким чином, поліном
є шуканим. Оскільки коефіцієнти - з будь-якого способу їх побудови з попереднього пункту - раціонально виражаються через коефіцієнти поліномів і. то коефіцієнти будуть раціональними числами. Рішенням поставленого завдання буде також і довільний поліном виду при будь-якому. Зокрема, можна в якості полінома взяти залишок від ділення на. За рахунок такої можливості отримуємо рішення задачі при зазначеному в теоремі обмеження. ♦
Доведіть єдиність полінома при виконанні умови.
Приклад. Знищити ірраціональність в знаменнику вираження. де - корінь полінома.
Рішення. Тут і поліном обчислений в прикладі ☞ЗДЕСЬ.
Подання беремо з доведення теореми:
Якщо поділити на. то залишок від ділення, тобто
також є вирішенням завдання - причому єдиним серед поліномів ступенів менших. ♦
Знищити ірраціональність в знаменнику вираження
a). де - корінь полінома;
б). де - корінь полінома.
Нехай поведінку об'єкта управління описується функцією часу. задовольняє диференціальних рівнянь
Тут - керуючий вплив (яке ми маємо можливість створювати для забезпечення потрібних нам властивостей об'єкта), - обурення, - поліноми від оператора диференціювання з постійними коефіцієнтами.
Передбачається, що сигнал зворотного зв'язку будується як розв'язок диференціального рівняння
де - деякий поліном, що не рівний тотожно нулю.
Приклад. Окремим випадком такого завдання є пропорційно-диференційно-інтегральний закон керування (ПІД-закон)
Дійсно, це співвідношення еквівалентно диференціальних рівнянь
Рівняння об'єкта і рівняння зворотного зв'язку утворюють систему
Виключивши з цієї системи. отримаємо рівняння
Характеристичний поліном замкнутої системи прийняв вигляд
Теорема.Пусть. Тоді поліноми і. що визначають вид зворотного зв'язку, можуть бути обрані так, щоб характеристичний поліномзамкнутой системи мав довільні задані коефіцієнти, тобто довільне розташування коренів.
Доказ випливає з тотожності Безу. якщо і задовольняють тотожності. то в якості поліномів можна взяти
Якщо. то можна вибрати зворотний зв'язок виду. що забезпечує стійкість замкнутої системи при нестійкому об'єкті.
