Нехай задана гладка або кусково-гладка поверхня π. Виберемо на цій поверхні певну сторону, тобто орієнтуємо поверхню. Нехай для визначеності π задана рівнянням z = φ (x, y), де φ (x, y) - функція безперервна в області D, де D - проекція φ (x, y) на Oxy. Якщо обрана верхня сторона поверхні π, то кути нормалі в точках поверхні π утворюють з віссю Oz гострі кути (в точках кордону π кути можуть бути прямими). Якщо обрана нижня сторона поверхні π, то кути нормалей з віссю Oz будуть тупими (в точках кордону поверхні кути можуть бути прямими). Нехай на поверхні π довільно на n частин π1, π2, ..., πn. Отримане розбиття позначимо через τ. Розбиття τ поверхні π на частини π1, π2, ..., πn породжує відповідне розбиття області D на частини D1, ..., Dn. де. Нехай, де dk - діаметр частини πk. λ - ранг розбиття τ. На кожній частині πk виберемо довільно точку Mk. Тоді k> називаються проміжними точками розбиття τ.
Нехай ΔSk - площа області Dk. а
Складемо суму (1). Суми такого виду називаються інтегральними сумами функції R (x, y, z), заданої поверхні π.
Опр. Число I називають кінцевим межею інтегральних сум (1) при λ → 0, якщо для будь-якого ε> 0 існує δ> 0 такі, що при будь-якому розбитті τ поверхні π на частини з умовою λ<δ и любом выборе промежуточных точек на этих частях будет выполниться |σ-I|<ε. При этом пишут .
Опр. Якщо кінцевий межа інтегральних сум (1) існує, то він називається поверхневим інтегралом по вибраній стороні поверхні за координатами х і у або поверхневим інтегралом другого роду і позначається.
Аналогічно визначаються поверхневі інтеграли другого роду за координатами z і х, у і z:
Сума трьох записаних інтегралів називається загальним поверхневим інтегралом другого роду.
36.Вичісленіе поверхневих інтегралів 2-го роду.
Обчислення інтегралів другого роду наступним чином зводиться до обчислення подвійного інтеграла.
в такому вигляді σ є інтегральною сумою подвійного інтеграла ± R (x, y, φ (x, y)), тому справедлива формула
Аналогічно виводяться формули:
37.Связь між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду.
Нехай на π визначені P (x, y, z), Q (x, y, z) і R (x, y, z). Нехай,, - напрямні косинуси одиничної нормалі, обраної на стороні π.
Тоді справедливі формули
Величина називається потоком вектора через обрану поверхню π.
П - кількість рідини, що протікає через π в напрямку вектора за одиницю часу, якщо - швидкість ідеальної рідини в точці М.
В основі докази наведених формул лежить узагальнення наступної теореми. Якщо π1 і π2 дві площини, кут між якими φ¹π / 2 і Ф1 і Ф2 геометричні фігури в площинах π1 і π2 відповідно,, то.
38. Теорема Остроградського про зв'язок поверхневого інтеграла 2-го роду з відповідним потрійним інтегралом.
Нехай Т - замкнута просторова область обмежена гладкою або кусочно-гладкою поверхнею π. А функції Р (х, у, z), Q (x, y, z) і R (x, y, z) неперервні на π разом з приватними похідними першого порядку, тоді (1)
Інтеграл (1) в правій частині (1) береться по зовнішній стороні поверхні. (1) - формула Остроградського.
(2) величина називається дивергенцией вектора і позначається.
Використовуючи поняття дивергенції і потоку (1) можна записати (1 ')
39. Теорема Стоку про зв'язок криволінійного інтеграла за координатами з відповідним поверхневим інтегралом 2-го роду. Ротор і циркуляція векторного поля, теорема Стокса у векторній формі.
π - гладка або кусково-гладка незамкнутая в геометричному сенсі орієнтована поверхню, обмежена гладким або кусочно-гладким контуром Г. Нехай на π визначені функції Р, Q і R, безперервні разом з приватними похідними першого порядку, тоді справедлива наступна формула, де інтегрування ведеться за обраною стороні π і позитивного напрямку Г.
Зауваження. Якщо поверхню π - область площині Оху, то dzdx = 0 і dydz = 0 і формула Стокса переходить в формулу Гріна.
Вектор називається ротором (або вихором) вектора і позначається. Характеризує в кожній точці обертальні здібності поля.
Зауваження. Формула Стокса у векторній формі має вигляд:, де.
Опр. називається циркуляцією поля вектора. Вона характеризує обертальну здатність поля уздовж контуру Г.