Кожна людина уявляє, що таке площа кімнати, площа ділянки землі, площа поверхні, яку треба пофарбувати. Він також розуміє, що якщо земельні ділянки однакові, то площі їх рівні; що площа квартири складається з площі кімнат і площі інших її приміщень.
Це звичайне уявлення про площу використовується при її визначенні в геометрії, де говорять про площі фігури. Але геометричні фігури влаштовані по-різному, і тому, коли говорять про площі, виділяють певний клас фігур. Наприклад, розглядають площа багатокутника, площа довільної плоскої фігури, площа поверхні многогранника і ін. В нашому курсі йтиметься лише про площу багатокутника і довільної плоскої фігури.
Так само, як і при розгляді довжини відрізка і величини кута, будемо використовувати поняття «складатися з», визначаючи його таким чином: фігура F складається (складена) з фігур F1 і F2. якщо вона є їх об'єднанням і у них немає спільних внутрішніх точок.
У цій же ситуації можна говорити, що фігура F розбита на фігури F1 і F2. Наприклад, про фігуру F, зображеної на малюнку 2, а, можна сказати, що вона складається з фігур F1 і F2. оскільки вони не мають спільних внутрішніх точок. Фігури F1 і F2 на малюнку 2, b мають загальні внутрішні точки, тому не можна стверджувати, що фігура F складається з фігур F1 і F2. Якщо фігура F складається з фігур F1 і F2. то пишуть: F = F1 Å F2.
Определеніе.Площадью фігури називається позитивна величина, визначена для кожної фігури так, що: 1) рівні фігури мають рівні площі; 2) якщо фігура складається з двох частин, то її площа дорівнює сумі площ цих частин.
Щоб виміряти площу фігури, потрібно мати одиницю площі. Як правило, такий одиницею є площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиничному відрізку. Домовимося площа одиничного квадрата позначати буквою Е, а число, яке виходить в результаті изме ренію площі фігури - S (F). Це число називають чисельним зна-ням площі фігури F при обраному об'єкті площі Є. Воно повинно відповідати умовам:
1. Число S (F) - позитивне.
2. Якщо фігури рівні, то рівні чисельні значення їх площ.
3. Якщо фігура F складається з фігур F1 і F2. то чисельне значення площі фігури дорівнює сумі чисельних значень площ фігур F1 і F2.
4. При заміні одиниці площі чисельне значення площі даної фігури F збільшується (зменшується) у стільки ж разів, у скільки нова одиниця менше (більше) старої.
5. Чисельне значення площі одиничного квадрата приймається рівним 1, тобто S (F) = 1.
6. Якщо фігура F1 є частиною фігури F2. то чисельне зна-ня площі фігури F1 не більш чисельного значення площі фігури F2. тобто F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2).
В геометрії доведено, що для багатокутників і довільних плоских фігур таке число завжди існує і єдино для кожної фігури.
Фігури, у яких площі рівні, називаються рівновеликими.
Формули для обчислення площі прямокутника, трикутника, паралелограма були виведені давно. В геометрії їх обґрунтовують, виходячи з визначення площі, при цьому чисельне значення площі називають площею, а чисельне значення довжини відрізка - довжиною.
Теорема.Площадь прямокутника дорівнює добутку довжин сусідніх його сторін.
Нагадаємо, що слово «площа» в цьому формулюванні означає чисельне значення площі, а слово «довжина» - чисельне значення довжини відрізка.
Доведення. Якщо F - даний прямокутник, а числа a, b - довжини його сторін, то S (F) = a # 8729; b. Доведемо це.
Нехай а і b - натуральні числа. Тоді прямо-кутник F можна розбити на одиничні квадрати (рис. 3): F = Е Å Е Å Е Å. Å Е. Всього їх а # 8729; b, так як маємо b рядів, в кожному з яких а квадратів. Звідси S (F) = S (E) + S (E) + ... + S (E) = a # 8729; b # 8729; S (E) = a # 8729; b
Доведення. Нехай АВСD - паралелограм, який не є прямокутником (рис. 4). Опустимо перпендикуляр РЄ з вершини С на пряму АD. Тоді S (АВСЕ) = S (АВСD) + S (СDЕ).
Опустимо перпендикуляр ВF з вершини В на пряму АD. Тоді S (АВСЕ) = S (ВСЕF) + S (АВF).
Так як трикутники АВF і СDЕ рівні, то рівні і їх площі.
Звідси випливає, що S (АВСD) = S (ВСЕF), тобто площа паралелограма АВСD дорівнює площі прямокутника ВСЕF і дорівнює ВС # 8729; ВF, а так як ВС = АD, то S (АВСD) = АD # 8729; ВF.
З цієї теореми випливає наслідок: площа трикутника дорівнює половині твори його боку на проведену до неї висоту.
Зауважимо, що слова «сторона» і «висота» в даних твердженнях позначають чисельні значення довжин відповідних відрізків.
Теорема.Площадь правильного багатокутника дорівнює половині твори його периметра на радіус вписаного кола.
Якщо периметр правильного багатокутника позначити буквою Р, радіус вписаного кола - r, а площа правильного багатокутника - S, то, відповідно до даної теоремі, S = Р # 8729; r.
Доведення. Розіб'ємо правильний n-кутник на п трикутників, поєднуючи відрізками вершини n-кутника з центром вписаного кола (рис.5). ці
трикутники рівні. Площа кожного з них дорівнює # 8729; r, де аn - сторона правильного n-кутника. Тоді площа багатокутника дорівнює # 8729; r # 8729; n, але an # 8729; n = Р. Отже, S =
Якщо F - довільний багатокутник, то його площа знаходять, розбиваючи багатокутник на трикутники (або інші фігури, для яких відомі правила обчислення площі). У зв'язку з цим виникає питання: якщо один і той же багатокутник по-різному розбити на частини і знайти їх площі, то чи будуть отримано-ні суми площ частин багатокутника однаковими? Доказа-но, що умовами, сформульованими у визначенні площі, площа якого багатокутника визначена однозначно.
Крім рівності і равновеликости фігур в геометрії розглядають відношення равносоставленності. З ним пов'язані важливі властивості фігур.
Багатокутники F1 і F2 називаються равносоставленнимі, якщо їх можна розбити на відповідно рівні частини.
Наприклад, равносоставлени паралелограм АВСD і прямокутник FВСЕ (рис. 4), так як паралелограм складається з фігур F1 і F2. а прямокутник - з фігур F2 і F3. причому F1 = F3.
Неважко переконатися в тому, що равносоставленниє фігури одно-великі.
Угорським математиком Ф.Бойяі і німецьким любителем мате-матики П.Гервіном була доведена теорема: будь-які два рівновеликих багатокутника равносоставлени. Іншими словами, якщо два багатокутника мають рівні площі, то їх завжди можна уявити складаються з попарно рівних частин.
Теорема Бойяи-Гервіна є теоретичною базою для вирішення завдань на перекроювання фігур: одну розрізати на частини і скласти з неї іншу. Виявляється, що якщо дані фігури багатокутні і мають однакові площі, то завдання неодмінно вирішити.
5. Площа довільної плоскої фігури і її вимір
Ми з'ясували, що обчислення площі багатокутника зводиться по суті до обчислення площ трикутників, на які можна розбити цей багатокутник. А як знаходити площа довільної плоскої фігури? І що являє собою число, що виражає цю площу?
Нехай F - довільна плоска фігура. В геометрії вважають, що вона має площу S (F), якщо виконуються наступні умови; існують багатокутні фігури, які містять F (назвемо їх осяжний); існують багатокутні фігури, які містяться в F (назвемо їх входять); площі цих багатокутних фігур як завгодно мало відрізняються від S (F). Пояснимо ці положення. На малюнку 7 показано, що фігура Q містить фігуру Р, тобто Q, - яка охоплює фігура, а фігура Р міститься в F, тобто Р - входить фігура. На теоретико-множині мовою це означає, що і, отже, можна запи-описати, що.
Якщо різниця площ осяжний і входить фігур може стати як завгодно малою, то, як встановлено в математиці, існує єдине число S (F), яке задовольняє нерівності для будь-яких багатокутних фігур P і Q. Дане число і вважають площею фігури F.
Цими теоретичними положеннями користуються, наприклад, коли виводять формулу площі круга. Для цього в коло F радіуса r впіси-вают правильний n-кутник Р, а близько окружності описують правильний n-кутник Q. Якщо позначити символами S (Q) і S (P) площі цих багатокутників, то матимемо, що. причому при зростанні числа сторін вписаних і описаних багато-кутників площі S (Р) будуть збільшуватися, залишаючись при цьому менше площі кола, а площі S (Q) будуть зменшуватися, але залишатися більше площі кола.
Площа правильного n-кутника дорівнює половині твори його периметра на радіус вписаного в нього кола. При зростанні числа його сторін периметр прагне до довжини окружності. а площа - до площі кола. Тому Sкр = = r 2.
Для наближеного вимірювання площ плоских фігур можна використовувати різні прилади зокрема, палетку.
Палітра - це прозора пластина, на якій нанесена мережу квадратів. Сторона квадрата приймається за 1, і чим менше ця сторона, тим точніше можна виміряти площу фігури.
Накладаємо палетку на дану фігуру F. Квадрати, які цілком лежать всередині фігури F, утворюють многокутну фігуру Р; квадрати, які мають з фігурою F загальні точки і цілком лежать всередині фігури F, утворюють многокутну фігуру Q (рис. 8). Площі S (Р) і S (Q) знаходять простим підрахунком квадратів. За наближене значення площі фігури F приймається середнє арифметичне знайдених площ:
У початковому курсі математики учні вимірюють площі фігур за допомогою палетки таким чином: підраховують число квадратів, які лежать всередині фігури F, і число квадратів, через які проходить контур фігури; потім друге число ділять навпіл і додають до першого. Отриману суму вважають площею фігури F.
Неважко обгрунтувати ці дії. Нехай m - число квадратів, які помістилися всередині фігури F, а n - число квадратів, через які проходить контур фігури F. Тоді S (Р) = m, а S (Q) = m + n.
Палітра дозволяє виміряти площу фігури F з певною точністю. Щоб отримати більш точний результат, потрібно взяти палетку з більш дрібними квадратами. Але можна поступити інакше: накласти одну і ту ж палетку на фігуру по-різному і знайти кілька наближених значень площі фігури F. Їх середнє арифметичне може бути кращим наближенням до чисельним значенням площі фігури F.