Для доведення теореми Ейлера візьмемо довільну грань F1 багатогранника, а також суміжну з нею по ребру грань F2. Підкреслимо, що цю пару граней обмежує зв'язний (т. Е. Що складається з одного шматка) несамопересекающійся контур з ребер цих граней. Виберемо третю грань F3. яка прилягає до цієї парі з деякого зв'язного шматку ламаної, що складається з ребер (рис. 21). Це, як неважко побачити, завжди можна зробити. Тоді межа трійки цих граней теж є зв'язний несамопересекающійся контур. Легко показати, що до вже відібраним гранях можна приєднати четверту грань, потім п'яту і т. Д. Так, щоб що виходить на черговому кроці сукупність граней F1. F2. Fi була обмежена зв'язковим несамопересекающімся контуром.
Підраховувати ейлерову характеристику багатогранника будемо поетапно. На першому етапі внесок межі F1 в ейлерову характеристику, т. Е. Число вершин грані мінус число її ребер (таке ж) плюс число граней (в даному випадку дорівнює 1), дорівнює 1. Приєднуючи нову грань F2. ми додаємо деякий число нових вершин, віднімаємо число (менше числа вершин на одиницю) нових ребер і додаємо одиницю, відповідну нової межі. У підсумку, внесок в ейлерову характеристику на другому етапі нульовий. Так як приєднується на кожному етапі грань має з попередніми гранями спільний кордон у вигляді однієї зв'язковий ламаної, то на кожному кроці (за винятком останнього) число нових вершин на одиницю менше числа нових ребер. Тому на кожному кроці, починаючи з другого аж до передостаннього, внесок в ейлерову характеристику нульовий. Приєднання останньої межі не дає ні нових вершин, ні нових ребер, додаючи в ейлеровой характеристиці до вже наявної одиниці ще одну, відповідну останньої межі. Таким чином, на останньому етапі ми отримуємо ейлерову характеристику багатогранника, рівну 2.
Теорема Ейлера має величезне значення в геометрії. Ця теорема породила новий напрям в математиці --- топологію. Ейлерова характеристика не залежить ні від довжин ребер, ні від площ граней, ні від будь-яких кутів багатогранника. Ейлерова характеристика дорівнює 2 незалежно від того, опуклий це багатогранник чи ні. Головне --- щоб поверхня цього багатогранника не мала дірок і була "схожа" на сферу, а не на рамку (рис. 22). Для багатогранника, "схожого" на рамку, ейлерова характеристика дорівнює 0.
Узагальнена теорема Ейлера
Нестрого опуклі багатогранники
Як ми знаємо, теорема Коші була доведена лише в разі строго опуклих багатогранників і невірна для неопуклих багатогранників. Узагальнення теореми Коші для нестрого випуклих багатогранників негайно випливає з наступної, самої по собі дуже цікавою теореми.
Теорема (А. Д. Александров). Дано два, взагалі кажучи, не строго опуклих багатогранника однакового комбинаторного типу. Якщо відповідні плоскі кути їх граней рівні, то двогранні кути при відповідних ребрах є рівними.
Звернемо увагу на те, що в нестрого опуклому многограннике, крім справжніх ребер і вершин, є також і фіктивні ребра і вершини. Фіктивне ребро нестрого опуклого багатогранника --- це ребро, двогранний кут при якому дорівнює. Фіктивна вершина --- це вершина, для якої сума відповідних плоских кутів дорівнює 2. Багатогранний кут в фіктивної вершині є двогранним кутом (вершина A на рис. 31), який, зокрема, може вироджуватися в площину (вершина B на рис. 31). У фіктивної вершині можуть сходитися або два справжніх ребра, або жодного. Так як просторовий кут у фіктивній вершині зводиться до Двогранний, то справжні ребра, які підходять до неї, повинні лежати на одній прямій і бути продовженням одна одної (ребра AC і AD на рис. 31).
Нехай два багатогранника M і M 'задовольняють умовам теореми. Як і при доведенні теореми Коші, повідомимо кожному ребру багатогранника M знак "+", якщо двогранний кут при ребрі більше, ніж кут при відповідному ребрі багатогранника M '. або знак "-", якщо цей двогранний кут менше.
Розглянемо число змін знаку при обході вершини. Нехай A і A '--- відповідні вершини. Так як справжня вершина відрізняється від фіктивної тим, що сума відповідних плоских кутів строго менше 2. а, по умові теореми, всі відповідні плоскі кути у багатогранників рівні, то вершини A і A 'обидві або справжні, або фіктивні. Якщо ці вершини справжні, то, по лемі 2, як ми вже знаємо, число змін знаку при обході кожної з них або дорівнює 0 (коли жодне ребро зі знаком до A не підходить), або не менше 4.
Розглянемо випадок, коли вершини A і A 'фіктивні. Тут розрізняють дві можливості:
1) серед ребер, що підходять до обом вершинам, є справжні ребра, і при цьому одному зі справжніх ребер з кінцем в A відповідає фіктивне ребро з кінцем в A ';
2) всі інші випадки, т. Е. Коли хоча б при одній з цих вершин немає справжніх ребер або справжні ребра є при обох вершинах і вони відповідають один одному.
Покажемо, що в разі 1) число змін знаку при обході вершини A дорівнює 4, а в разі 2) вершина A може бути виключена з підрахунку загального числа змін знака.
Випадок 1). Нехай до обох фіктивним вершин A і A 'підходять справжні ребра (їх може бути лише два). Позначимо через a1. a2 справжні ребра, що сходяться у вершині A. а через b'1. b'2 --- справжні ребра, які підходять до вершини, їй відповідної (рис. 32). Нагадаємо, що справжні ребра, які підходять до фіктивної вершині, лежать на одній прямій і взаємно доповнюють один одного. Тому якщо справжньому ребру a2 відповідає фіктивне ребро a'2. то і другого справжньому ребру a1 відповідає також фіктивне ребро a'1. Тому і назад, справжнім ребрах b'1 і b'2 в M 'відповідають фіктивні ребра b1. b2 в M. Отже, знаки на ребрах a1. b1. a2. b2 суть "-", "+", "-", "+" відповідно. Так як всі інші ребра, які підходять до даних вершин (якщо вони є), фіктивні, ми маємо в разі 1) в точності чотири зміни знака при обході вершини A.
Випадок 2) розбивається на три подслучая:
2а) ні до A. ні до A 'не підходить ні одного справжнього ребра;
2б) справжні ребра є лише в одній з них;
2в) справжні ребра є в обох фіктивних вершинах, і вони відповідають один одному.
Випадок 2а). Справжніх ребер немає ні в A. ні в A '. Відповідні двогранні кути (всі рівні) рівні між собою. Таким чином, обидві вершини і всі відповідні до них ребра знаходяться всередині деякої справжньою межі, і їх можна виключити.
Випадки 2б) і 2в). Нехай до фіктивної вершині A підходить даний ребро a1. Отже, до цієї вершини підходить і інше даний ребро a2. яке є продовженням ребра a1. Тоді в разі 2б) все ребра, які підходять до A '. повинні бути фіктивними. Крім того, легко зрозуміти, що відповідні ребра a'1 і a'2 також доповнюють один одного. Тому ми можемо викинути вершини A і A '. а також всі сходяться в них ребра за винятком a1. a2. a'1 і a'2. які ми попарно об'єднуємо в два ребра: a1a2 і a'1a'2. При цьому знак у нового ребра a1a2 буде той же, що і у вихідних ребер a1 і a2 (рис. 33).
У разі 2в) ребра a'1 і a'2 також справжні і доповнюють один одного. Решта ребра фіктивні. Тому, як і в разі 2б), можна виключити обидві вершини A і A 'і все фіктивні ребра, які підходять до них. При цьому ребра a1 і a2 і, відповідно, a'1 і a'2 лежать на одній прямій, а ребра a1 і a2. крім того, мають однаковий знак. Їх можна об'єднати в нові, більші ребра, відповідно a1a2 і a'1a'2. і приписати першому з них відповідний знак (рис. 34).
Таким чином, фіктивні вершини, що підкоряються нагоди 2), і що входять в них зайві фіктивні ребра можна виключити. Пара залишилися ребер, що входили в фіктивну вершину, об'єднується в одне ребро, яке забезпечується загальним для старих ребер знаком. Тому якщо на многограннике M є відмічені знаком ребра, то при обході всякої залишилася вершини (це чи таки реальна вершина, або фіктивна вершина в разі 1)) не менше чотирьох змін знака. А це суперечить Лемма 1, згідно з якою існує вершина з числом змін знака не більше 2. Лемма 1 була сформульована для опуклих багатогранників. Насправді ж, як видно з її докази, вона вірна для будь-якого багатогранника, ейлерова характеристика якого дорівнює 2. Отримане протиріччя доводить теорему.
1 Леонард Ейлер (1707, Базель, Швейцарія - 1783, Санкт-Петербург) - геніальний математик, більше 30 років пропрацював в Санкт-Петербурзі, член Петербурзької академії наук.
Це, здавалося б, очевидне твердження (зване теоремою Жордана) довести дуже не просто. Воно вірно і на площині, і на сфері. А ось, наприклад, на поверхні тора воно не вірно. На рис. 25 зображений замкнутий шлях на торі, що не розбиває поверхню тора на частини.