Нагадаємо, що в теорії статичних полів вводяться допоміжні функції: скалярний потенціал електричного поля і векторний потенціал магнітного поля таким чином, що:
У електродинаміки для опису електромагнітних полів теж вводяться скалярний і векторний електродинамічні потенціали. Введення потенціалів електромагнітного поля дозволяє значно полегшити вирішення ряду завдань електродинаміки. На початку цього розділу ми вже говорили про те, що потенціали визначають енергію зарядженої частинки в електромагнітному полі, напруженість поля визначає силу, з якою поле діє на частинку. Сила, яка діє на частинку, яка рухається в електричному і магнітному полях, визначається формулою:
Де Q - заряд частинки, v - її швидкість.
Формула (3.3.3) носить назву формули Лоренца. Вона широко використовується при динамічному розрахунку руху заряджених частинок (електронів або іонів) в електричному та магнітному полях. При вирішенні задач квантової механіки сили, що діють на частинки, як правило, до уваги не беруться. Для розрахунку квантових станів частинок в електричному і магнітному полях у відповідні рівняння вводяться скалярний і векторний електродинамічні потенціали.
Роль, яку відіграють потенціали і в електродинаміки та квантової механіки, добре описана в уже згаданих Фейнмановских лекціях з фізики (том 6 «Електродинаміка» і тому 9 «Квантова механіка» изд. «Мир», Москва 1966 і 1967 р.-.).
Розглянемо, як потенціали і пов'язані з векторами напруженості електричного і магнітного полів, і знайдемо рівняння, яким задовольняють ці потенціали. Для цього будемо використовувати рівняння Максвелла.
Задамо векторний потенціал так, як це робиться для статичних полів (3.3.2). Підстановка (3.3.2) в рівняння Максвелла:
Призводить до наступного рівності:
Використовуючи тотожність векторної алгебри, функцію, що стоїть в (3.3.4) в дужках, можна прирівняти градієнту деякого скаляра.
Розумно покласти, що цей скаляр є скалярний потенціал електричного поля. Тоді в статичному випадку, коли похідна за часом рана нулю, співвідношення (3.3.5) перетворюється в уже прийняте співвідношення (3.3.1).
Таким чином, ми повчили вираз для напруженості електричного поля, що змінюється в часі:
Згідно зі слів (3.3.6), напруженість електричного поля може бути розділена на вихревую і потенційну частини, причому вихорову частина має місце тільки в разі змінюються в часі полів.
Таким чином, напруженості поля і виражаються через електродинамічні потенціали і за допомогою співвідношень (3.3.2) і (3.3.6), і для опису електромагнітних полів досить знати 4 потенційні функції: три проекції і.
Отримаємо диференціальні рівняння для електродинамічних потенціалів і. Для цього в рівняння Максвелла
Підставами вираження (3.3.2) і (3.3.6)
Скористаємося відомим співвідношенням векторної алгебри:. Тоді (3.3.7) можна переписати так:
Диференціальні рівняння (3.3.8) пов'язують електродинамічні потенціали (і) з джерелами: зарядами і струмами (і).
Накладемо додаткову умову, що дозволяє розділити рівняння для потенціалів:
Ця умова (3.3.9) називається Умовою калібрування Лоренца. Використовуючи калібрування Лоренца, можемо систему рівнянь (3.3.8) переписати в більш простому вигляді:
Ці рівняння описують ті ж фізичні процеси, які описують рівняння Максвелла. Система рівнянь (3.3.10) утворена двома рівняннями. Такий поділ рівнянь виправдано фізично: у рівняння для входить щільність струму, (струми є джерелами магнітних полів), а в рівняння для входить щільність зарядів, (заряди є джерелами і стоками електричного поля). Рівняння (3.3.10) можуть бути записані як 4 скалярних диференціальних рівнянь для потенціалів з однаковою формою для всіх чотирьох функцій,. При і рівняння (3.3.10) переходять в хвильові рівняння, які для гармонійних коливань візьмуть вигляд:
У відсутності тимчасової залежності рівняння (3.3.11) переходять в рівняння магнітостатики і рівняння Пуассона
При відсутності джерел (і) рівняння Пуассона перетворюються в рівняння Лапласса
У відсутності тимчасової залежності калібрування Лоренца (3.3.9) приймає наступний вигляд:
І зветься «Калібрування Кулона».
При вирішенні завдань техніки НВЧ, як правили, буває досить вирішити завдання щодо однієї з чотирьох функцій координат ,. Обрана функція є скаляром, що сильно спрощує вирішення використовуваних диференціальних рівнянь. Підкреслимо тут, що рішення диференціальних рівнянь вимагає формулювання граничних умов. У наступних розділах нашого курсу ми будемо розглядати різні хвилеведучі структури і знаходити їх властивості шляхом вирішення диференціальних рівнянь щодо однієї з названих вище чотирьох функцій координат ,. При вирішенні цих завдань ми будемо формулювати необхідні граничні умови. Отримавши рішення щодо обраного електродинамічного потенціалу, компоненти векторів електричного і магнітного полів можна знайти за допомогою наведених вище співвідношень (3.3.2) і (3.3.6).
Ще один векторний потенціал
При вирішенні деяких завдань техніки НВЧ заздалегідь відомо, що електричне поле носить вихровий характер, тобто скалярний потенціал
J = 0. При цьому з (3.3.6) і (3.3.9) отримуємо:
Згадуючи, що div (rot) = 0, де Довільна векторна функція, можемо зробити висновок, що з (3.3.16) і (3.3.15) випливає, що
Тут вектор Являє собою «електричний» векторний потенціал на відміну від традиційного «магнітного» векторного потенціалу. Підставляючи (3.3.17) в рівняння Максвелла, знайдемо, що вектор, як і вектор, задовольняє хвильовому рівнянню. Знайшовши рішення хвильового рівняння для однієї з компонент Fx, Fy, Fz. знаходимо компоненти вектора напруженості електричного поля за допомогою співвідношення (3.3.17) і далі компоненти вектора напруженості магнітного поля за допомогою відповідного рівняння Максвелла. У певних випадках використання «електричного» векторного потенціалу Полегшує рішення відповідних електродинамічних задач.