Зрозуміло, правильним буде варіант позичити. Всі словники сходяться тільки на такому варіанті написання даного слова.
Це дієслово може вживатися у двох значеннях: 1) дати що-небудь в борг; 2) навпаки, взяти що-небудь в борг.
Справа в тому, що в російській мові є дві трохи відрізняються один від одного за значенням приставки: о- і від-. Їх написання слід запам'ятати. І хоча приставка "від-" найчастіше має значення відділення, наприклад, відрізати = відокремити за допомогою різання, відрубати = відокремити щось від чогось за допомогою рубки, але тим не менше в дієслові "позичити" ми використовуємо все ж приставку "о-". Припускаю, що даний факт можна віднести до дивацтв або примх російської мови, і його потрібно просто завчити на пам'ять.
З двох запропонованих варіантів дієслова слід вибрати перший - правильно буде записати Позичити. Це дієслово має значення передати щось в борг, або навпаки отримати у кого-то что-то в борг. Лексичне значення приставки Про дуже велике, вона може утворювати дієслова та іменники з самим різним властивістю, в даному випадку ми бачимо, що одна і та ж приставка надає одному і тому ж дієслова прямо протилежні значення: Брати-Віддавати. Правопис префіксів не перевіряється, вони пишуться за принципом однакового написання морфем, тому в дієслові Позичити приставку Про просто запам'ятовуємо.