Розповідь про тілах обертання я почну з самого простого з них - циліндра.
Циліндр - це тіло, яке утворюється при обертанні прямокутника навколо прямої, що містить його сторону.
Кола, утворені обертанням сторін прямокутника, перпендикулярних осі обертання, називаються підставами циліндра (верхнім і нижнім). Так як протилежні сторони прямокутника рівні, то підставами циліндра є рівні кола.
Поверхня, утворена обертанням сторони прямокутника, паралельної осі обертання, називається бічною поверхнею циліндра.
Висотою циліндра називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки одного підстави циліндра до площини іншого. Довжину цього перпендикуляра називають висотою циліндра. Відрізок, що з'єднує точки кіл підстав і перпендикулярний до їх площинах, називається утворює циліндра обертання. Відрізок осі обертання, укладений всередині циліндра, називається віссю циліндра.
Утворюють циліндра обертання перпендикулярні площинах його підстав, а в основі циліндра коло, тому такий циліндр називається прямим круговим циліндром.
Циліндр, що утворюють якого не перпендикулярні площинах його підстав, називається похилим циліндром.
А тепер я зупинюся на основних формулах циліндра:
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола підстави на висоту. Sбок = 2 RH
2) Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ бічної поверхні і двох його підстав.
Sполн = Sбок + 2Sосн = 2 RH + 2 R 2 = 2 R (R + H)
3) Обсяг круглого прямого циліндра дорівнює добутку площі підстави на його висоту. V = R 2 H
Тепер перейдемо до наступного тілу обертання - конусу.
Прямий круговий конус - це тіло, яке утворюється при обертанні прямокутного трикутника навколо прямої, що містить його катет.
Відрізок осі обертання, укладений всередині конуса, називається віссю конуса.
Коло, утворений при обертанні другого катета, називається підставою конуса. Довжина цього катета називається радіусом підстави конуса або радіусом конуса. Вершина гострого кута обертового трикутника, що лежить на осі обертання, називається вершиною конуса.
Висотою конуса називається відрізок, проведений з вершини конуса перпендикулярно його основи. Довжину цього перпендикуляра також називають висотою конуса. Висота конуса має своїм підставою центр кола - підстави конуса - і збігається з віссю конуса.
Відрізки, що з'єднують вершину конуса з точками кола його заснування, називаються утворюють конуса. Все що утворюють конуса рівні між собою.
Основні формули конуса:
1) Обсяг конуса дорівнює третині добутку площі підстави на висоту.
2) Бічна поверхня круглого конуса дорівнює добутку половини довжини окружності підстави на творчу. Sбок = RL
3) Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площ бічної поверхні і його заснування. Sполн = Sбок + Sосн = RL + R 2 =? R (L + R)
Усічений конус - частина конуса, обмежена його підставою і перетином, паралельним площині підстави.
Підстава даного конуса і коло, отриманий в перетині цього конуса площиною, називаються відповідно нижньою і верхньою підставами усіченого конуса. Висотою усіченого конуса називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки одного підстави до площини іншого. Довжину цього перпендикуляра також називають висотою усіченого конуса.
Відрізки утворюють конуса, укладені між підставами усіченого конуса, називаються утворюють усіченого конуса. Так як все що утворюють даного конуса дорівнюють і рівні всі утворюють відсіченого конуса, то рівні все що утворюють усіченого конуса.
1) Обсяг поверхні усіченого конуса обчислюють за формулою:
Обсяг дорівнює однієї третини твори пі на висоту усіченого конуса і суму квадратів радіусів підстав і їх твори.
2) Площа бічної поверхні зрізаного конуса дорівнює добутку напівсуми довжин кіл підстав на творчу.
3) Площа повної поверхні зрізаного конуса дорівнює сумі площ бічної поверхні і підстав усіченого конуса.
Фігура, отримана в результаті обертання півкола навколо діаметра, називається кулею. Поверхня, утворена при цьому півколом, називається сферою.
Кулею називається безліч всіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, що не більше даного R.
Сферою називається безліч всіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані не менше цього R.
Радіусом кулі називають всякий відрізок, що з'єднує центр кулі з точкою кульової поверхні. Відрізок, що з'єднує дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром кулі. Кінці будь-якого діаметру кулі називаються діаметрально протилежними точками кулі. Відрізок, що з'єднує дві будь-які точки кульової поверхні і не є діаметром кулі, називають хордою кулі (сфери).
Одним зі своїх найвищих досягнень Архімед вважав доказ того, що об'єм кулі в півтора рази менше обсягу описаного біля нього циліндра:
оскільки обсяг описаного циліндра дорівнює SH = R 2 • 2R = 2 R 2. Недарма куля, вписаний в циліндр, був висічений на надгробку Архімеда в Сіракузах. Це доказ, як і висновок формули обсягу піраміди за допомогою "чортової драбини", а також обчислення обсягів багатьох інших тіл, засновані на представленні тіла у вигляді "стопки" тонких паралельних шарів. Обсяг кожного шару приблизно дорівнює добутку площі його основи на товщину, так що, по суті, потрібно обчислити суму площ паралельних перетинів, точніше, граничного значення твори цієї суми на товщину шару, коли остання прямує до нуля. Математики минулого проявляли неабияку винахідливість і дотепність в подібних обчисленнях.
ЯК АРХИМЕД знаходиться ОБСЯГ КУЛІ
Розглянемо прямокутник розміром 2R х 4R, коло, що стосується його довгих сторін в їх серединах A і B, і трикутник, вписаний в нього (рис. 1). При обертанні навколо осі АВ ці фігури утворюють циліндр, куля і конус. Перетнемо їх площиною, що проходить паралельно підстав циліндра на відстані х від А. Позначимо площі перетинів - будемо називати їх відповідними - через Sц, Sш і Sк. тоді
x • Sц = 2R • (Sш + Sк). (*)
Дійсно Sц = 4 R 2; Sш = РЄ 2. де РЄ 2 = ЕО 2 - ОС 2 = R 2 - (х - R) 2 = 2Rх - х 2; Sк = СD 2 = х 2. і рівність (*) перевіряється прямою підстановкою. Якби в його лівій частині замість х стояв постійний множник, т. Е. Залежність між трьома перетинами залишалася однією і тією ж для будь-якій площині, то таке ж рівність було б правильно і для обсягів Vц, VШ і Vк. Архімед знайшов надзвичайно дотепний шлях-об'єднав рівності (*) при різних х в одне співвідношення для обсягів. Він подивився на рівняння (*) як на "правило важеля": х і 2R він прийняв за плечі, а площині перетинів - за маси. Його ідею ілюструє рис. 2. На одне плече ваг, як на вісь, надітий циліндр так, що точка А збігається з точкою опори; на друге плече на відстані 2R від точки опори підвішені конус і кулю. Відповідні перерізу циліндра, конуса і кулі врівноважують один одного, а значить, і ваги в цілому знаходяться в рівновазі. Рівновага не порушиться, якщо зосередити всю масу циліндра в його центрі, розташованому на відстані R від опори. Записуємо правило важеля для всієї системи, враховуючи, що маси пропорційні обсягами:
звідки легко вивести відому формулу обсягу кулі: VШ = 4/3 R 2
Архімед знайшов і інший спосіб обчислення обсягу кулі - по суті, дуже близький до інтегрування.
1) Обсяг кулі дорівнює обсягу піраміди, основу якої має ту ж площу, що і поверхня кулі, а висота є радіус кулі: VШ = 4/3 R 2
2) Площа сфери (або поверхню кулі) дорівнює учетверенной площі великого кола: Sсфери = 4 R 2
А тепер складемо рівняння сфери з центром А (a; b; c) і радіусом R в декартовій прямокутній системі координат Oxyz.
Нехай M (x; y; z) - будь-яка точка цієї сфери. Тоді MA = R або MA 2 = R 2. З огляду на, що MA 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2. отримуємо дані рівняння сфери
Тор - фігура обертання.
Тор утворюється при обертанні кола навколо не перетинає її прямий, що у площині кола.
Якщо "заповнити" тор, то вийде тіло обертання, зване полноторіем.
1) Обсяг, обмежений тором, дорівнює добутку довжини кола на площу поперечного перерізу: V = 2 R · r? = 2 2 Rr 2;
2) Площа поверхні дорівнює подвоєному добутку довжини кола на довжину поперечного перерізу: Sповерх = 4 2 Rr
Інтегральне числення, створене Ньютоном і Лейбніцем, перетворило обчислення обсягів в стандартну операцію. Вона записується такою формулою:
де V - об'єм тіла, розташованого між площинами z = a і z = b, а S (z) - площа його перерізу площиною, що проходить через точку z осі Oz перпендикулярно цій осі.