Приклади рішень ірраціональних рівнянь, рішення математичних задач

Рішення рівнянь виду:.


Зауваження: практично нічим не відрізняється від попереднього типу.
Завдання: вирішити рівняння
Метод рішення:
1) Знайдемо Область Допустимих Значний змінної, вирішивши систему нерівностей

2) Зведемо в квадрат обидві частини рівняння, тим самим позбудемося кореня.
3) Вирішимо отримане рівняння

4) Перевіримо, чи входять отримані коріння в Область Допустимих Значний.
5) Зробимо перевірку коренів, підставивши їх у вихідне рівняння.

Рішення рівнянь виду:.

Зауваження: Тут вже цікавіше.
Завдання: вирішити рівняння
Метод рішення:
1) Знайдемо обмеження на змінну, вирішивши систему нерівностей

2) Зробимо такі перетворення, щоб в кожній з частин рівності стояло не більше одного кореня.

Зауваження: Тут з'являються ще обмеження для змінної, права частина повинна бути неотрицательна:

3) Зведемо в квадрат обидві частини рівняння, пам'ятаємо, що
і про те, що
Отримуємо рівняння:

4) Знову перетворимо так, щоб в одній з частин рівняння залишилося тільки доданок, що містить корінь

Зауваження: Тут з'являються ще обмеження для змінної, обидві частини рівності повинні бути одного знака (твір двох співмножників позитивно, якщо вони одне знака, або обидва позитивні, або обидва негативні):


5) Як правило потрібно провести якісь перетворення для зниження ступеня рівняння, після чого зведемо знову обидві частини в квадрат, корінь піде, вирішимо отримане рівняння.
6) Перевіримо, чи входять отримані коріння з обмежень.
Зауваження: обмежень тут багато, вони іноді описуються складними виразами, тому потрібна увага і перевірка (див. П.7)
7) Зробимо перевірку коренів, підставивши їх у вихідне рівняння.

Приклад 3:
Завдання: вирішити рівняння
Рішення:
Зауваження: Оптимально було б просто вирішити це рівняння, зводячи його в квадрат і не звертаючи уваги ні на що, а потім зробити перевірку отриманих значень змінної.
1) Перенесемо другий доданок лівої частини в праву з протилежним знаком.

3) Зведемо в квадрат обидві частини рівняння:

4) Знову перетворимо так, щоб в одній з частин рівняння залишилося тільки доданок, що містить корінь

А тепер проведемо перетворення цього виразу

Твір двох співмножників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б один з них дорівнює нулю.
Перший співмножник:

другий співмножник

5) Зведемо знову обидві частини в квадрат, корінь піде, вирішимо отримане рівняння.

6) Зробимо перевірку коренів, підставивши їх у вихідне рівняння.
Отже, отримали
.
Перевіримо їх.
1)
Підставами в вихідне рівняння:

Рівність вірне, є коренем рівняння.
2)
Підставами в вихідне рівняння:

Рівність невірне, тому що корінь квадратний не може дорівнювати негативного числа.
не є коренем рівняння.
3)
Підставами в вихідне рівняння:

Рівність невірне, тому що корінь квадратний не може дорівнювати негативного числа.
не є коренем рівняння.
відповідь:

Схожі статті