У 1953 р Б. Хупперт встановив можливість розв'язання кінцевої групи, яка є твором двох діедральних підгруп. Розвиваючи цей результат, В. Скотт отримав можливість розв'язання кінцевої групи. допустивши в якості множників ще так звані діцікліческіе групи. Ці результати досить докладно викладені в монографії. Діедральние і діцікдіческіе групи містять циклічні підгрупи індексу 2, але далеко не вичерпують весь клас груп з циклічними підгрупами індексу 2.
Всі зустрічаються визначення і позначення загальноприйняті. Зокрема, - безліч простих дільників порядку. a - циклічна група порядку.
Лемма 1. метациклические група порядку для непарного простого неразложима в напівпрямий добуток нормальної елементарної абелевих підгрупи порядку і підгрупи порядку.
Доведення. Припустимо противне і нехай - метациклические група порядку. розкладені в напівпрямий добуток нормальної елементарної абелевих підгрупи порядку і підгрупи порядку. - непарне просте число. Ясно, що неабелева. Якщо містить нормальну підгрупу порядку з циклічної фактор-групою. то міститься в центрі і абелева по лемі 1.3.4, протиріччя. Отже, містить циклічну підгрупу індексу і підгрупа. породжена елементами порядку. є елементарною абельовой підгрупою порядку по теорем 5.4.3 і 5.4.4. Тепер. і підгрупи порядку не існує. Значить, припущення не так і лема справедлива.
При твердження леми невірно, контрприкладом служить діедральная група порядку 8.
Лемма 2. можливості розв'язання кінцева група з циклічної підгрупою Фиттинга сверхразрешіма.
Доведення. Нехай - кінцева здійсненне група з циклічної підгрупою Фиттинга. Так як. то як група автоморфізмів циклічної групи буде абельовой по теоремі 1.3.10, тому сверхразрешіма.
Лема 3. Якщо в сверхразрешімой групі немає непоодиноких нормальних 2-підгруп, то Сіловская 2-підгрупа абелева.
Доведення. Коммутант сверхразрешімой групи нільпотентен (теорема VI.9.1), тому Сіловская 2-підгрупа з коммутанта нормальна в групі. Якщо коммутант має непарний порядок, то Сіловская 2-підгрупа в групі абелева.
Нагадаємо, що - найбільша нормальна в -Підгрупа, - центр групи. а - найменша нормальна в підгрупа, яка містить. Через позначається -длина групи.
Лемма 4. Нехай і - підгрупи кінцевої групи. володіють, такі властивості:
Доведення. Див. Лемму 1.
Теорема 1. Нехай кінцева група. де і - групи з циклічними підгрупами індексів. Тоді можна вирішити, і для будь-якого простого непарного.
Доведення. По теоремі з група розв'язна. Для обчислення -довжину скористаємося індукцією один по одному групи. Спочатку розглянемо випадок непарного. За лемі VI.6.4 підгрупа Фраттіні одинична і в групі єдина мінімальна нормальна підгрупа. По теоремі III.4.5 підгрупа Фиттинга - мінімальна нормальна підгрупа. Так як. то - -група. Якщо. то - абелева група порядку, яка розділяє. а так як. то. Сіловская -Підгрупа в метациклические по теоремі III.11.5, тому - елементарна абелева порядку і ізоморфна підгрупі з. в якій Сіловская -Підгрупа має порядок. Так як для деякої максимальної в підгрупи. то з леми 1 отримуємо що - Сіловская в підгрупа і.
Розглянемо тепер 2-довжину групи. Ясно, що і - єдина мінімальна нормальна в підгрупа, яка є елементарною абельовой 2-підгрупою. Нехай і - -холловскіе підгрупи з і відповідно. За умовою теореми - циклічна нормальна в підгрупа, - циклічна нормальна в підгрупа. Тепер - -холловская в підгрупа по теоремі VI.4.6, і можна вважати, що. Для будь-якого елементу маємо. a по лемі 4 небудь. небудь. Але якщо. то і централізує. що неможливо. Значить. а так як в тільки одна мінімальна нормальна підгрупа, то і - 2-група. Фактор-група не містить нормальних непоодиноких 2-підгруп, тому підгрупа Фиттинга має непарний порядок. Але -холловская в підгрупа циклічна, а по лемі 2 фактор-група сверхразрешіма і Сіловская 2-підгрупа в абелева по лемі 3, Тепер за теоремою VI.6.6 і. Теорема доведена.
Лемма 5. Кінцева група з підгрупою Фиттинга індексу сверхразрешіма.
Доведення. Проведемо індукцією один по одному групи. Нехай - кінцева група, в якій підгрупа Фиттинга має індекс. За індукції можна вважати, що підгрупа Фраттіні одинична і в групі тільки одна мінімальна нормальна підгрупа. Тому F - мінімальна нормальна в підгрупа. Нехай - інволюція з. Якщо. то - нормальна в підгрупа. Якщо. то і - непоодинокі нормальна в підгрупа. Отже, в групі є нормальна підгрупа простого порядку. За індукції сверхразрешіма, значить, сверхразрешіма і група.
Лемма 6. Кінцева група, що є твором двох підгруп порядків, що поділяють. сверхразрешіма.
Доведення. Скористаємося індукцією по порядку групи. Нехай кінцева група. де підгрупи і мають порядки, що ділять. - просте число. Все фактор-групи групи задовольняють умовам леми, тому по індукції нетривіальні фактор-групи групи сверхразрешіма. Отже, підгрупа Фраттіні групи одинична, а підгрупа Фиттинга - мінімальна нормальна в підгрупа. За лемі 2 підгрупа нециклічного.
Якщо - 2-група, то і ізоморфна підгрупі групи. тому - група порядку 3, а група має порядок 12 і містить підгрупу порядку 6. Отже, сверхразрешіма.
Нехай тепер - -група. Так як сверхразрешіма по індукції, то 2-нильпотентна. Але. так як. значить, - 2-група, яка по лемі 5 має порядок 4. Група неприводимого діє на підгрупі. тому циклічна по теоремі Машка. З іншого боку, і Сіловская 2-підгрупа з є твір двох підгруп і порядків 2. Протиріччя. Лема доведена.
Теорема 2. Якщо групи і містять циклічні підгрупи непарних порядків і індексів. то кінцева група сверхразрешіма.
Доведення. Скористаємося індукцією по порядку групи. По теоремі 1 група розв'язна. Оскільки умови теореми переносяться на все фактор-групи, то по індукції все нетривіальні фактор-групи групи сверхразрешіма. Тому підгрупа Фраттіні групи одинична, а підгрупа Фиттинга - єдина мінімальна нормальна в підгрупа. Ясно, що має непростий порядок. Якщо - 2-група, то близько 4 і ізоморфна підгрупі групи. Але тепер порядок ділить 12, і сверхразрешіма по лемі 6.
Отже, - -група порядку. Сіловская -Підгрупа в метациклические по теоремі III.11.5, тому - елементарна абелева порядку і ізоморфна підгрупі групи. в якій Сіловская -Підгрупа має порядок. Так як для деякої максимальної в підгрупи. то з леми 1 отримуємо, що - Сіловская в підгрупа і можна вважати, що. де.
Через - позначимо різницю. Так як -холловскіе підгрупи з і з нормальними в і відповідно, то - -холловская в підгрупа. Якщо. то сверхразрешіма по лемі 6. Нехай. Для будь-якого елементу маємо: і по лемі 4 небудь. небудь. Якщо. то з мінімальності отримуємо, що і централізує. що неможливо. Значить, і. Але в єдина мінімальна нормальна підгрупа, тому і ділить. Але якщо. то нормальна в. протиріччя. Значить.
Так як сверхразрешіма і - -холловская підгрупа в. то нормальна в і по лемі Фраттіні містить сіловскую 2-підгрупу з. Зрозуміло, що. Підгрупа ненормальна в. значить. але тепер нормальна в і нормальна в. протиріччя. Теорема доведена.
Теорема 3. Нехай кінцева група. де - циклічна підгрупа непарного порядку, а підгрупа містить циклічну підгрупу індексу. Якщо в немає нормальних секцій, ізоморфних. то сверхразрешіма.
Доведення. Скористаємося індукцією по порядку групи. По теоремі 1 група розв'язна, а так як умови теореми переносяться на все фактор-групи, то підгрупа Фиттинга - єдина мінімальна нормальна в підгрупа. Якщо - 2-група, то міститься в і тому порядок дорівнює 4, a ізоморфна підгрупі групи. Якщо Сіловская 3-підгрупа з непоодинокими, то діє на неприводимого і - нормальна в підгрупа, ізоморфна. протиріччя. Якщо. то - 2-група і сверхразрешіма.
Отже, - -група порядку. Так як Сіловская -Підгрупа в метациклические по теоремі III.11.5, то - елементарна абелева порядку і ізоморфна підгрупі з. в якій Сіловская -Підгрупа має порядок. Так як для деякої максимальної в підгрупи. то з леми 1 отримуємо, що - Сіловская в підгрупа і можна вважати, що. де. a.
Через позначимо. Як і в теоремі 2, легко показати, що -холловская підгрупа з непоодинокими, а. Так як - -холловская в підгрупа і сверхразрешіма, то нормальна в і містить сіловскую 2-підгрупу з. яка збігається з сіловской 2-підгрупою в. Підгрупа ненормальна в. тому. Але тепер нормальна в. а значить, і в. протиріччя. Теорема доведена.