Хочу запропонувати для обговорення одну тему з теорії чисел, випередивши її замість «прологу», завданням такого змісту:
На квадратну (ширина дорівнює висоті) сітку з квадратної вічком 1 * 1 (назвемо її первинної сіткою), вирівнюючи по верхній і лівій сторонам, укладаємо сітку з вічком 2 * 2 (вторинна сітка).
Решта видимими після накладення вторинної сітки, перетину прутів первинної сітки назвемо «вузлами».
Верхній горизонтальний ряд і крайній лівий вертикальний ряд вузлів, в подальшому, в задачі не розглядаються.
У решти видимими вузлах можна виділити діагоналі: в напрямку (+45) град. - діагональ «/», в напрямку (-45) град. - діагональ «\».
Довести, що яка б не була величина первинної сітки і яким би кількістю сіток з вічком s * s (де s - будь складене число) ми надалі не накривали первинну сітку, ми не зможемо закрити (зробити невидимими) всі вузли будь-якої діагоналі «/» .
Примітка:
Сітки - ідеальної форми, лежать на ідеально рівній поверхні (тобто підпорядковується 5-му постулату евклідової геометрії).
Лівий верхній кут сітки позначимо літерою О. Цей кут може знадобитися під час обговорення.
Знайти рішення даного завдання в даний момент не потрібно, для обговорення теми досить зрозуміти її суть, про що вона і відповісти на питання: хто є «ху» (сітка, вузол і т.д.)?
Упевнений, багато хто здогадався, про який такий «ху», йшлося в завданні.
Дійсно, це - таблиця Піфагора (ТП).
Щоб «довести» ТП до первинної сітки необхідно продублювати верхній рядок і лівий стовпчик таблиці, розташувавши їх, відповідно, вище і лівіше. При цьому додамо їм значення - «рядок індексів» і «стовпець індексів» чисел.
Двійкова сітка - це парні числа.
Для того, щоб краще зрозуміти, що таке вузли, бажано ввести параметр - показник складності числа A (n). Багато з тих, кого я запитував, відповідали, що такий параметр в математиці, начебто, існує, але не могли пригадати, як він називається.
Такий параметр повинен мати значення А (1) = 0, А (p) = 1, де р - просте число. Для складових s = p * q A (s) = A (p) + A (q) = 1 + 1 = 2 і т.д. За цим параметром стає видимою «винятковість» числа 1 (проти невиразного - «не проста і не складене»).
Тепер ясно, що вузли, що залишилися видимими після накладення всіх інших сіток - це складові числа з показником складності, рівним 2.
У ТП можна виділити діагоналі.
Основна діагональ - це діагональ квадратів (починається від О).
Діагоналі «/», що з'єднують індекси парних чисел (наприклад, 2N-2N, де 2N - індекс числа 2n) і перпендикулярні основний (природно, якщо у Вас таблиця Піфагора квадратної форми), по суті своїй є відображенням послідовності
У задачі питалося: чи будуть на діагоналях 2N-2N числа з показником складності, рівним 2 (наприклад, s = p * q, p
Оскільки А (s) = 2, то немає інших варіантів, крім: p = (n-a), q = (n + a).
Звідси, p + q = n-a + n + a = 2n.
Таким чином, згадані діагоналі, цілком справедливо, можна назвати діагоналями Гольдбаха (ДГ). Наявність або відсутність у всіх цих диагоналях складених чисел з A (s) = 2, свідчить про те, справедлива чи ні гіпотеза Гольдбаха (ГГ) ( "Будь-яке парне число можна представити у вигляді суми двох простих чисел не менше, ніж одним способом") .
Основну діагональ, в деякому роді, можна вважати "відображенням" числовій осі, з тією лише різницею, що роль простих на ній "виконують" ті ж числа з A (n) = 2.
Якщо виділити кольором згадані числа на ТП, то проблема Гольдбаха в такій інтерпретації може придбати "візуальну наочність", яка, в свою чергу, може ініціювати появу нових напрямів вирішення ГГ.
Хочу привести в тезах один зі своїх, як мені здається, можливих варіантів:
1. Прості і псевдопростие (П + П) в ряду закінчень s-чной системи числення (СС) (то ж, що і залишки від ділення) займають строго визначені ним місця.
2. Такі ж місця визначені для П + П і в ряду закінчень квадратів в тій же СС.
3. Введемо поняття B (n) _s - це кількість простих і псевдопростих непарних чисел в ряду
(1)
в s-чной СС.
4. Можна довести лему такого змісту:
"Для будь-якого парного числа 2n завжди знайдеться така s-чная СС, в якій кількість непарних складових, псевдопростих по підставі s, неперевищує 2n, буде менше B (n) _s не менше, ніж на 2".
Приклад 1: Розглядаючи число 2n = 48 в 3-чной СС, видно, що B (24) _3 = 8, а кількість складових псевдопростих по підставі 3, неперевищує 48, всього 2 (25,35). Отже, кількості цих складових недостатньо, щоб зайняти всі місця в ряду (1), а це в свою чергу означає, що симетрично n будуть розташовані прості, які в сумі і дадуть число 48.
Приклад 2: Для числа 2n = 194 використовуємо 210-чную СС (s = 2 * 3 * 5 * 7 = 210), в якій складових псевдопростих по підставі 210, неперевищує 197, всього 4 (121, 143, 169, 187), а B (97) _210 = 6.
Далі, хотілося б поговорити і про діагоналях ( «\»). І про що буде завдання, якщо в ній з'явиться друге питання: «Довести, що частина вузлів буде залишатися видимою по всій довжині будь-діагоналі« \ »?
На мій погляд, досить цікаво розглянути справедливість гіпотези Гольдбаха для пріморіалов.
В межах пріморіала числа, кратні базовим (тобто простим числам, твором яких є пріморіал), розташовані симетрично середини пріморіала. Кількість таких чисел для пріморіала можна порахувати точно - за формулою:
Решту місць, також симетричні середини П, призначені для чисел, взаємно простих з базовими.
З них кількість складених чисел з допустимою похибкою можна підрахувати за формулою:
,
де
Здається мені, що нерівність буде дотримуватися до нескінченності. Якщо це -так, то для пріморіалов гіпотеза Гольдбаха схоже вірна.
Не бозна, який результат, але якщо продовжити розгляд з урахуванням зрушень рядів зазначених чисел, то може бути.
Додано через 3 дня
Як варіант, можна розглянути нерівність:
де
тобто розглянути те, що кількість зазначених складових, неперевищує половину пріморіала,
менше числа простих в діапазоні від до.
Хто зараз на конференції
Зараз переглядають цей форум: Немає зареєстрованих користувачів
Ви не можете створювати нові теми у
Ви не можете відповідати на повідомлення
Ви не можете редагувати свої повідомлення
Ви не можете видалити свої повідомлення
Ви не можете додавати файли у цьому