Працюючи в 11 класі, помічав, що учні не можуть застосовувати інтеграл для цих цілей, запитують, чи не можна по-іншому. Звичайно можна. Один з варіантів - формула Сімпсона. (Сімпсон Томас (1710-1761) - англійський математик)
Як? Наведу можливий порядок вивчення теорії:
1. Поняття обсягу. Властивості обсягів. (Л.С. Атанасян).
2. Обсяг прямокутного паралелепіпеда (Л.С. Атанасян).
3. Формула обчислення обсягів тіл за допомогою певного інтеграла (Л.С. Атанасян, але тільки ввести саму формулу, вона стане в нагоді тільки для наступного пункту).
4. Обсяг піраміди.
а) Довести, що трикутні піраміди з рівновеликими підставами і рівними висотами рівновеликі (це легко зробити, наприклад, за допомогою тієї самої формули обчислення обсягів тіл за допомогою певного інтеграла);
б) Формула обсягу трикутної піраміди, яка має три взаємно перпендикулярних ребра, що виходять з однієї вершини (виводжу, "доповнюючи" трикутну піраміду до прямокутного паралелепіпеда);
в) Формула обсягу довільної трикутної піраміди (спираючись на пункт а);
г) Формула обсягу довільної піраміди (розбиваємо довільну піраміду на трикутні піраміди).
5. призматоїд. Формула Сімпсона.
6. Висновок формул обсягів всіх інших тіл за допомогою формули Сімпсона, включаючи обсяги частин кулі.
Наприклад, виведення формули обсягу кульового сегмента:
Таке вивчення теорії вивільняє час для вирішення завдань. Учні з цікавістю ставляться до того, що одна формула дозволяє виводити всі інші, що досить запам'ятати лише її. А вже якщо забув якусь іншу, то вона легко виходить з формули Сімпсона. До речі, про цю формулою мова йде і в книзі Я.І. Перельмана "Цікава геометрія".
Наведу уривок з згадуваної вище книги І.І. Бавріна, В.А. Садчикова "Нові завдання по стереометрії" з доказом формули Сімпсона для призматоїд.
"Призматоїд - багатогранник, все вершини якого розташовані на двох паралельних площинах. Грані, розташовані на цих площинах, називаються підставами призматоїд.
Чи не буде протиріччям визначенням призматоїд, якщо багатогранник, у якого верхнє і нижнє підстави є різнойменними багатокутниками, а бічні грані - трикутники, ми будемо називати призматоїд.
На малюнку багатокутник А1 А2 А3. Аn - верхнє підставу призматоїд, площа цього підстави позначимо Sв; багатокутник В1 В2 В3 ... Вm - нижня частина призматоїд, площа цього підстави позначимо S н; багатокутник С1 С2 С3. Сk - середнє перетин призматоїд площа цього перерізу позначимо Sср; висоту призматоїд позначимо Н.
Ясно, що площину середнього перетину призматоїд перетне бічні ребра в їх серединах, тобто межа середнього перетину проходить по середнім лініях бічних граней призматоїд. Так як площину середнього перетину паралельна основам призматоїд, то ця площина проходить і через середину висоти Н призматоїд, що знайшло відображення на малюнку у вигляді двох відстаней Н / 2.
Висновок формули Сімпсона. У площині середнього перетину С1 С2 С3. Сk виберемо довільну точку Р. З'єднаємо цю точку з усіма вершинами призматоїд. В результаті точку Р можна розглядати як загальну вершину сукупності пірамід. Призматоїд при цьому можна розглядати як сукупність трьох видів пірамід:
1) піраміди з вершиною Р і підставою А1 А2 А3. Аn.
2) піраміди з вершиною Р і підставою В1 В2 В3 ... Вm.
Знаючи, що обсяг піраміди обчислюється за формулою V = (1/3) Sh, легко визначити обсяги кожного з трьох видів пірамід, складових вихідний призматоїд:
3) Розглянемо одну з бічних пірамід, наприклад, піраміду РА1 В1 В2. Обсяг цієї піраміди
Аналогічно можна уявити обсяги інших "бічних" пірамід.
Залишається знайти суму обсягів всіх "бічних" пірамід.
Підсумовуючи обсяги сукупності пірамід з вершиною в точці Р, ми знаходимо обсяг призматоїд: