$ І про-з-ве-де-ня $ \ prod \ left (1 \ frac
\ Right) ^ $ за про-простими $ p $ рас-хо-дять-ся, від-ку-да сле-ду-ет тео-ре-ма Евк-ли-да. Бо-леї то-го, Гей-лер ус-та-а-вил, що про-стих чи-сіл «мно-го», бо $ π (x)> \ ln x-1 $. і в той же вре-ма поч-ти все на-ту-раль-ні чис-ла яв-ля-ють-ся з-ставши-ни-ми, т. к. $ π (x) / x → 0 $ при $ x → ∞ $.
П. Ді-ріх-ле в 1837, изу-чаю по-прос про біс-ко-неп-но-сті про-стих чи-сіл в ари-ме-тич. про-грес-сі-ях $ nk + l $. $ N = 0, 1. $. де $ k $. $ L $ - вза-ім-но про-сти, рас-смот-рел ана-лог ей-ле-ро-ва про-з-ве-де-ня $$ \ prod_p \ left (\ 1 \ frac \ right) ^, $$ де $ χ (p) $ удов-ле-тво-ря-ет ус-ло-ві-ям: чи не рав-на то-ж-де-ст-вен-но ну-лю, пе -ріо-дич-на з пе-ріо-дом $ k $. і впол-ні муль-ти-п-ли-ка-тив-на, т. е. $ χ (nm) = c (n) χ (m) $ для лю-Бих це-лих $ n $. $ M $. При $ s> 0 $ спра-вед-лів ана-лог то-ж-де-ст-ва Ей-ле-ра $$ \ sum _ ^ \ frac = \ prod_p \ left (\ 1 \ frac \ right) ^ . $$ Ряд сле-ва на-зи-ва-ет-ся Ді-ріх-ле ря-будинок. Ізу-чаю по-ве-де-ня та-ких ря-дів при $ s → 1 + 0 $. Ді-ріх-ле до-ка-зал свою тео-ре-му про біс-ко-неп-но-сті чис-ла про-стих чи-сіл в ари-ме-тич. про-грес-сі-ях.П. Л. Че-б-шев в 1851-52 до-ка-зал, що су ще ст-ву-ють по-сто-ян-ні $ a $ і $ b $. та-кі, що $$ a \ frac \ lt π (x) \ lt b \ frac, $$ де $ \ frac \ lt a $ і $ b<2\ln 2$. и ус-та-но-вил, что ес-ли су-ще-ст-ву-ет пре-дел $$\frac$$ при $x→∞$. то он ра-вен 1. В 1896 Ж. Ада-мар и Ш. Ла Вал-ле Пус-сен ус-та-но-ви-ли су-ще-ст-во-ва-ние это-го пре-де-ла.