простий дільник
Ми будемо вважати, що безліч S не містить комплексних нескінченних простих дівізоров. Це не є істотним обмеженням, так як всякий комплексний простий дільник неразветвлени. [16]
Якщо К - довільне поле алгебраїчних чисел, то роль простих чисел грають його прості дівізоров. Безліч їх позначимо S. [17]
Фіксуємо кінцеве безліч S простих дівізоров поля k і розглянемо максимальне / - розширення KS, розгалужене тільки в простих дівізоров р G S. Група Галуа розширення Ks / k позначається через s - Вона є / - групою кінцевої або топологічної. У § 1 визначається мінімальне число утворюють групи . Основною метою є визначення мінімального числа співвідношень, що пов'язують ці складові. У § 2 з'ясовується, що це питання пов'язане з умовами можливості розв'язання деяких задач занурення арифметичного характеру. [18]
До З KS, яке є, очевидно, максимальним Абелеві розширенням періоду / поля k, розгалуженим тільки в простих дівізоров р Е S. Зважаючи на це, визначення числа d (S) зводиться до питання про абелевих розширеннях. Це питання може бути вирішене на підставі теорії полів класів за допомогою стандартних міркувань. [19]
Припустимо, що 1 2, число класів дівізоров поля k непарній, а 2 ділиться в k тільки на один простий дільник. 2 Iе і k має тільки один нескінченний речовий простий дільник, який ми позначимо через рс. Прикладом такого поля є поле раціональних чисел R. Візьмемо за S безліч, що складається з двох простих дівізоров (і Роо. [20]
З іншого боку, всякий простий дільник q / m повинен повністю розпадатися в До, так як інакше він був би критичним простим дівізоров K (yji) не першу порядку. [21]
К - об'єднання розширень К / К, для яких Ga (K / K) - р-група і які розгалужені лише в кінцевому безлічі Е простих дівізоров поля К. [22]
У § 2 буде доведено, що в кожному такому класі можна вибрати такого представника р, що в поле К, отримують приєднанням до k всіх / /, всі критичні прості дівізоров k розпадуться на дільник 1-го порядку. [23]
Припустимо, що 1 2, число класів дівізоров поля k непарній, а 2 ділиться в k тільки на один простий дільник: 2 Iе і k має тільки один нескінченний речовий простий дільник. який ми позначимо через рс. Прикладом такого поля є поле раціональних чисел R. Візьмемо за S безліч, що складається з двох простих дівізоров (і Роо. [24]
У разі полів алгебраїчних чисел теорія полів класів не тільки описує групу Ga (Kab / K), але з огляду на арифметичного характеру цього опису, дозволяє детально вивчити арифметику абелевих розширень К / К: закони розкладання простих дівізоров поля До в поле К1 і закони взаємності. [25]
За своїм виглядом умови (7), при яких визначено символ [%, X], і саме визначення цього символу залежать не тільки від х і X, а й від вибору числа ах, відповідного%, числа fj, в класі X і простих дівізоров р серед безлічі всіх пов'язаних один з одним дівізоров. [26]
Дійсно, досить помітити, що в такому кільці дільник (я) простий тоді і тільки тоді, коли простий елемент я (якщо я п П2, то (я) (п) (я2), а якщо (я) (п) (я2 ), то я асоційований з твором Я1Я2; звернемо увагу, що тут істотно використано припущення, що все дівізоров головні), і тому розкладання кожного дівізоров (ос) в твір простих дівізоров дасть розкладання елемента а в твір простих елементів, причому з точністю до ассоциированности це розкладання буде єдино. [27]
Поняттю критичного простого дівізоров зручно надати біра-нальних інваріантну форму, зв'язавши його з полем алгебраїчних функцій, а не з різноманіттям X - моделлю цього поля. Простий дільник р поля k називається некритичним для поля К, якщо існує хоча б одне неособо повне різноманіття X, для якого К є полем функцій, ар - некритичним простим дівізоров в сенсі попереднього визначення. [28]
До простого дівізоров р поля k відповідає елемент ф групи Up. Рівність ф 1 необхідно і достатньо для того, щоб р було неразветвлени і в К. [29]
Нехай р - простий множник, що входить в / l] [i) rf з деяким позитивним показником. Якщо всі ці прості дівізоров f є полюсами функції г, то вже сам А є дільником дівізоров Dm і доводити більше нічого. [30]
Сторінки: 1 2 3 4