На це питання можна відмовитися відповідати - світ так влаштований і все. Так, світ так влаштований. Але ж світ не знає. що-таке "псевдоевклидовой" простір. Та й ми до Г.Мінковского цього не знали. Більшості і зараз слово це мало що говорить. Так що ж стоїть за твердженням "Простір-Час псевдоевклидовой в околиці точки"?
Я постараюся показати. що за цим твердженням варто один вельми тривіальний факт. взагалі кажучи, є не властивістю ( "законом") світу як такого. а цілком зрозумілим властивістю наявних обмежень в можливості описувати цей світ.
Мабуть. вказівка на те. що ми - будь-який експериментатор. живий суб'єкт. неживої об'єкт - не важливо - є частинами світу. але ніяк не еквівалентні йому як цілому. є досить звичним. Але як багато випливає з цього загального місця. Зокрема, також і те. що ми називаємо псевдоевклидова простору-часу.
Щоб краще зрозуміти. що таке псевдоевклидова. розберемося спочатку. що таке Евклідовому.
Поняття про Евклідовому просторі ми отримуємо ще в школі. Для простоти будемо говорити про двовимірному просторі. що не представляє проблему ні для уяви. ні для негайної реалізації. Мабуть. будь-яка людина в якості прикладу області в евклідовому просторі запропонує подивитися на аркуш паперу. І буде правий. але не повністю. En realidad, аркуш паперу є прикладом вкладеної в один одного ієрархії деяких. більш загальних ніж евклидово. просторів - різноманіття. простори аффінной зв'язності. Ріманова простору. афінного (лінійного) простору і тільки вже потім евклидова. Та й то. якщо тільки ми вже маємо на увазі. що положення точки на аркуші описується за допомогою якимось чином певних координат.
Як ми це робимо. Немає нічого простішого. Беремо прямокутний трикутник. вибираємо на аркуші точку. називаємо її початком координат (відліку) y проводимо через неї дві перпендикулярні лінії - осі системи координат. Відкладаємо на кожній з осей від початку відліку однакові проміжки. скажімо. в один сантиметр і готово. Ми зробили евклидово простір на цьому аркуші паперу. З кожної точки можна опустити на обидві осі перпендикуляри і приписати точці дві координати - кількість одиниць на кожної з осей. відокремлюють проекцію точки від початку координат. Можна сказати також. що в нашій конструкції через кожну точку проходять дві взаємно перпендикулярні осі. Заодно. як довів Піфагор. ми маємо добре певний евклідова відстань від нашої точки до початку відліку. а разом з ним і евклідова відстань між двома будь-якими точками на аркуші паперу. Хочу підкреслити - саме все вищесказане разом робить аркуш паперу прикладом області в евклідовому просторі.
А якщо замість обов'язкового прямого кута між осями ми дозволяємо будь-які кути (але завжди однакові в даній реалізації системи координат). Лист. разлінований в лінієчку з нахилом. Чого простіше. Хто постарше. може ще пам'ятати такі зошити для чистописання в початковій школі. Можна, можливо? Так звичайно можна. Залишається такий лист прикладом евклідового простору. Ні. Este буде вже приклад афінного (лінійного) простору. Більш загального.
Раз більш загального. значить ми щось втратили. Que, що є в евклідовому просторі і чого ще немає в афінному. Що це. Теорема Піфагора і евклидова метрика. іносказанням наявності якої і є теорема Піфагора. Ми втратили евклідова відстань між точками. А ось цілком певний лінійне відстань між будь-якими двома точками. тобто лінійну метрику ми поки ще маємо. Тільки відстань обчислюється не за допомогою теореми Піфагора.
А тепер дозволимо кутах між осями змінюватися при переході від точки до точки. Що станеться. Наш лист перестав бути прикладом і афінного простору теж. Але ж ось він. нікуди не подівся. Чого ж прикладом він тепер є. Легко здогадатися. що прикладом деякого ще більш загального простору - Ріманова. А відстань між точками є ще або вже немає. Ще є. метрика ще існує. Але це вже не те лінійне відстань. для обчислення якого достатньо було знати координати тільки двох будь-яких точок. Тепер відстань потрібно обчислювати інтегруючи вздовж шляху (тобто накопичувати по чуть-чуть. Зміщуючись уздовж деякої лінії. Провідною з однієї точки в іншу). Відстаней виявляється стільки ж. скільки і шляхів. Але! Серед усіх відстаней виявляється одне - найбільше (або найменше). Шлях. який дає таку відстань називають геодезичним.
Але залишимо поки цю захоплюючу доріжку. Вона нас поведе в сторону від нашої мети - pseudoeuclidity. Легко зрозуміти. п ріставка псевдо - medio, що Евклідовому як-би є. А ми її тут уже давно втратили. ще на першому кроці до свободи. Значить. ми пішли трохи не тим шляхом. коли зайнялися кутами між осями (але ілюстрацію того. що будь-яка домовленість вкрай важливо для кінцевого результату ми отримали!)
Отже. кути між осями залишаються прямими. Підкреслюю - це угода. не більше. Але що при цьому ще важливо - ми маємо практичну можливість дотримуватися цієї угоди. У нас є прямокутні трикутники. Тверді. хороші, зовсім незмінні прямокутні трикутники. Правда є. Правда незмінні. Ну добре. залишимо це теж "на потім".
Так що ж ми ще можемо легко і відразу поміняти в нашій конструкції координат для евклідового простору. Як що - одиниці виміру. Сантиметри. дюйми. лікті. сажні. Та й метри і кілометри - теж інші одиниці. НЕ сантиметри ж.
Хто нам звелів по обох осях відкладати однакові одиниці. Будемо завжди по одній осі відкладати сантиметри. за іншою дюйми. ВО як. узгодимо нарешті Європу з Англією і Америкою. Маємо право. Та чому ні. Маємо. Ось тільки …. Так, ми точно дещо втратили. І що. Ну звичайно. знову відстань ... Причому. тепер вже капітально. Не тільки евклидово. а й взагалі. метричний відстань. En efecto, чи багато сенсу змішувати дюйми з сантиметрами в який-небудь формулою. Ну складемо 5 дюймів з 3 сантиметрами. І що отримаємо. Так, недобре. Але відсутність відстані в даному просторі не закриває можливості описувати точки на аркуші паперу і таким чином. Ось тільки це знову поведе нас від псевдоевклидова. Значить. відстань ми повинні зберегти. А це означає. що одиниці по всіх осях повинні бути однакові!
Добре, одиниці по обох осях вибираємо однакові. А що тоді звільнимо. Ну, наприклад, нехай осі будуть кривими. а не прямими. Ой, знову відстань втратимо ... А якщо дозволимо одиницям (разом. Для обох осей одночасно) змінюватися при переході від точки до точки. як було дозволено кутах. і що привело до ріманова простору. Ні, знову відстань пропаде. Так що ж ще можна звільнити. Адже більше нічого не залишилося. все спробували!
Ні, дещо ми упустили. Y пов'язано це дійсно з вибором одиниць вимірювання по різних осях. тільки складніше. ніж робили ми до сих пір.
Cabe señalar, як нам добре. зручно маніпулювати аркушем паперу. Докладаємо наш трикутник і так. і так. Повертаємо його як хочемо. переносимо. А чому це можливо. Та тому, що трикутник існує поза аркуша паперу. Чи не є частиною того простору. для опису якого застосовується. Чи накладає це який-небудь відбиток на результат. Накладає. та ще й який!
Que, що одиниці вимірювання знаходяться поза мого листа паперу. дозволило мені уникнути багатьох застережень в попередніх міркуваннях. які повинні були б неминуче з'явитися. якби я спочатку мав на увазі. що одиниці виміру суть внутрішні об'єкти на цьому аркуші. По суті справи, я карбується в цей лист. то що хотів - які одиниці. як вони змінюються від точки до точки. не піклуючись. існують вони там насправді такі чи ні. Я неявно нав'язував в ту область простору. яку моделював аркушем паперу. певну структуру. про яку навіть і не згадував. Структура ця називається об'єктом аффинной зв'язності. має сенс швидкості відносних змін одиниць виміру. реалізують цю систему координат (в ній же) при зміщенні від точки до точки. Y простір становитс я. наприклад, евклідовим НЕ sólo тому. що ми не допускається не-декартові координати. А тому. що в ньому існують об'єкти. які можна використовувати як одиниці виміру. виробляють декартові координати і в яких (в декартових координатах) ось ця структура. аффинная зв'язність. всюди. в кожній точці нульова. Що це означає, нульова аффинная зв'язність. Та дуже просто - всі ці одиниці всюди однакові. Тобто при повністю самоузгодженому. внутрішньому описі геометрії деякого простору. головне - чи є такі координати. як нам потрібно. чи можна їх реалізувати внутрішніми об'єктами. А нам - в нашому випадку. коли на аркуш паперу ми наносимо одиниці виміру ззовні. такі як хочемо - можна все.
Зокрема, ми використовуємо трикутник - тобто відразу обидва масштабу разом. із заданим кутом між ними в даній точці і мається на увазі рівністю одиниць по обох осях. Далі, наш трикутник можна переносити без зміни цих співвідношень в будь-яку точку аркуша паперу і повертати як завгодно. в тому числі, так, що одна вісь може бути поєднана з іншого (як би два примірника трикутника відразу в одному місці) і одиниці їх при цьому можна порівняти безпосередньо. Можливість переносити весь репер (трикутник) без зміни означає. що зв'язність нульова і простір евклидово. А можливість повертати дає можливість підтвердити. то що малося на увазі - вибір однакових одиниць. гарантує його. А ось якщо такої можливості (повертати) у вас немає. Що буде. Тут-то ми. por fin, і намацуємо стежку до розуміння того. звідки з'являється приставка псевдо.
Уявіть собі. що ви живете всередині цього листа паперу. ви його частина. лінія в ньому. Y, por supuesto. ви вважаєте себе прямий. (По крайней мере. Пряміше всіх інших. А що. Чи маєте право. Поки не доведено протилежне.) Ваше існування реалізує ваш час (не відчуваєте зв'язку - час існування - саме звичне словосполучення. Чи не так?). Ваше існування - це пряма на (в) аркуші паперу. Є інші прямі. І криві теж. Ви навіть якось з ними спілкуєтеся. Принаймні. іноді перетинаєтеся або обмінюєтеся чимось (відправляєте певну точку. яка, втупившись у іншу лінію. повертається назад до вас). Таким чином, ви знаєте. що світ ваш двумерен. принаймні. Ви - один вимір. є ще щось - значить вимірювань більше одного. Так ви будуєте образ вашого світу як двовимірне простір. Яке. Ваша одиниця виміру. ваш масштаб часу завжди з вами y, само собою. ви вважаєте його одним і тим же в усі моменти свого існування. Este реалізований вами масштаб. Ось тут вже з'явилася ідея Евклідовому. Не помітили. А як же - масштаб то ваш незмінний. один і той же. por definición. (За вашим визначенням. Але вам-то що за справу. Якщо інші мають свої визначення. Поки ви для себе намагаєтеся. З іншими потім домовимося.) Але вимірювань-то два. У репере потрібно мати два однакових (і незмінних) масштабу. Ось тут ви мені повинні позаздрити. Сиджу я над аркушем паперу зі своїм трикутником. і в вус не дую. А вам то що робити. Де взяти другий масштаб. Нема ж його на вашій лінії і все тут. Відповідь - а придумати. Нехай буде. І не який-небудь завалящий. а саме такий. як вам потрібно - тобто ортогональний (перпендикулярний) до вашого масштабу часу. y, por supuesto. постійний всюди. Господар - пан. Що хоче. то і придумує. Ваш рідний. реалізований масштаб постійний. А вже придуманий гірше не повинен бути. Ось і став ваш світ (двовимірний) евклідовим. Де б ви не опинилися. у вас є два прекрасних масштабу для його опису. Один тимчасової і один. скажімо. просторовий ... Що? Ах. ви не скрізь буваєте. Ну добре. Помер претензії - все це так красиво тільки в ваших околицях. тобто світ (його опис двовимірним простором-часом) евклидов локально. в околиці кожної точки вашого (лінії) існування.
Евкліда. Дозвольте. я зі своїм трикутником можу упевнитися. що мої одиниці для обох осей рівні. повертаючи трикутник. А ви так можете. Ні? А чому. Ах. у вас тільки одна реалізована одиниця. масштаб часу. І як ви там всередині листа папери не крутитесь. вона такою єдиною і залишиться. Ну ніяк не можна поєднати реалізований масштаб з уявним. Той завжди повинен бути ортогональним до масштабу часу. Адже ми його таким уявили. І крапка. Ну не однакові ваші масштаби. Y це необхідно визнати явно. Не може в вашому математичному образі простору-часу масштаб часу перетворюватися в масштаб простору ні в якому разі. А в евклідовому просторі може. Як же це можна зобразити математично. Ось тут і з'являється псевдоевклидова. Вона і зображує нерівноправність масштабів в репере. Їх принципова відмінність один від одного.
Отже. маємо два принципово різних масштабу. Значить і відповідні координати бажано зображати різними числами. І який вибір у нас є. Правильно. дійсні та уявні числа - якраз те саме і позначають назви. що нам треба. Уявні = уявні. Нехай тимчасова координати буде зображуватися дійсним числом (виміряна реалізованим масштабом), а просторова - уявним числом (виміряна уявним масштабом). Простір-час має властивості Евклідовому в тому сенсі. що між будь-якими двома точками можна визначити інваріантним чином (щодо всієї групи наших декартових координат) відстань, що обчислюється відповідно до теореми Піфагора. r 2 = t 2 + x 2
Ось тільки x тут число уявне. а нам це ніяк не видно. Зробимо запис явною - нехай просторова координата в явному вигляді містить уявну одиницю. yo x. Тоді відстань. обчислене буквально як евклидово. виявляється фактично іншим. r 2 = t 2 -x 2 оскільки квадрат уявної одиниці дає мінус одиницю. Ось і отримали ми ніби й евклидово простір. ан немає. інше - псевдоевклидовой.
Хоча використання уявних чисел напрошується само. але воно не обов'язково. якщо ми сфокусуємо увагу. як це дуже часто робиться. на збереженні інваріантної форми для обчислення квадрата відстані з використанням знака мінус замість плюса (щоб не плутати з чисто просторовим відстанню. його зазвичай називають інтервалом) при перетвореннях координат. Але тоді стає очевидною різниця між просторової і тимчасової координатами як обмірюваними принципово різними масштабами. Y, напевно, можна ще нагадати. що історично в фізиці уявної координатою зазвичай вважають час. Вже дуже ми звикли малювати просторові координати на папері і покладе його дійсними. Що як називати. для результату. взагалі-то. не так важливо. аби інтервал обчислювався правильно. Однак, перевернута термінологія ніколи не сприяє легкому розумінню суті справи.
Добре, з'ясували ми. що лінії. існуючі в аркуші паперу і бажаючі його описувати зсередини. будуть змушені локально використовувати псевдоевклидовой простору як образ своїх найближчих околиць. Ну а наш фізичний світ. Так, він складніше буде. por supuesto. Нам довелося придумати собі аж три додаткових просторових одиниці. А в іншому ми нічим не краще ліній на папері і можливості наші не більше. Ось тому-то і ми теж описуємо наш світ локально псевдоевклидова простором.
Dices - неправда все це. Ось, дивись є у мене хороші трикутники. щоб вимірювати просторові проміжки. Реалізовані предметами з нашого світу. Хочеш - дерев'яні. хочеш - металеві. а хочеш - пластмасові. Так? А ви не забули. що щоб дізнатися це саме відстань. вам потрібно подивитися на два кінці мітки. зображує одиницю. Y між цими подіями пройде проміжок часу. як ви не ловчих. А справжня. НЕ уявна одиниця повинна вам давати просторову координату (де б то не було далеко від початку відліку) миттєво. в будь-який заданий. єдиний момент часу. Так що слово "дивись" в вашому затвердження важливіший за інші. І його наявність спростовує саме твердження. Чи не можете ви миттєво приписати просторові координати нічому в цьому найкращому зі світів.