радикал Джекобсон

Доведемо спочатку, що ідеал

полуприем кільця полуприем. нехай , тоді - лівий ідеал кільця . Зауважимо, що , інакше , тобто - нильпотентною лівий ідеал в і по слідству 1 . З тієї ж причини . але . Таким чином лівий ідеал в містить квазірегулярних елементи, тому в силу полупростоти - протиріччя з тим, що .

ідеал

по теоремі 3 складається з ліво-квазірегулярних елементів, тобто для будь-якого знайдеться такий, що . Так як і , то . отже, ліво-квазірегулярен в , звідки .

Назад, так як

- двосторонній ідеал, то канонічна проекція є гомоморфизмом кілець. образ ідеалу , - ідеал в . З того, що полуприем (по п.1 теореми 7) випливає, що полуприем. тоді , тобто .

Теорема 7. Правило

, зіставляє асоціативному кільцю його радикал Джекобсон , є радикалом (в сенсі Куроша). тобто виконано:

для будь-якого гомоморфізму асоціативних кілець

виконано включення

1. Рівність

випливає з пропозиції 2, якщо покласти .

2. Канонічна проекція

кожному максимальному регулярному лівому ідеалу ставить у відповідність максимальний лівий ідеал , оскільки . ідеал також регулярний, так як співвідношення тягне . В силу теореми 2 радикал Джекобсон - це перетин всіх регулярних максимальних лівих ідеалів в : , але тоді - перетин деяких максимальних регулярних лівих ідеалів кільця , а значить, воно містить радикал Джекобсон цього кільця. Звідки .

3. Можна вважати, що

- епіморфізм. нехай - перетин максимальних регулярних лівих ідеалів в . прообраз - максимальний регулярний лівий ідеал. Таким чином , а значить, .

Приклад 1.

. Дійсно, в кільці цілих чисел кожен ідеал регулярний 11). Все максимальні ідеали мають вигляд , де - просте число. значить, .

Дивись також

література

Андрунакіевіч В.А. Рябухін Ю.М. «Радикали алгебри і структурна теорія», Наука, 1979.

Херстейн І. «некомутативними кільця», Мир, 1972.

1) left Jacobson radical

6) см. П.1 доведення теореми 2

7) right Jacobson radical