Рівнянням з однієї переменнойx називається вираз f (x) = g (x), що містить змінну величину x і знак рівності.
Число a називається коренем (або рішенням) рівняння f (x) = g (x), якщо при підстановці цього числа в рівняння виходить правильне числове рівність.
Зауваження. Важливо розуміти, що рішення - це число. наприклад, 15 або, тому відповідь при вирішенні рівняння повинен містити саме числа, а не вираження, рівняння і т. п. Вирішити рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що їх немає.
Рівняння f (x) = g (x) і f1 (x) = g1 (x) називаються рівносильними. якщо будь-який корінь першого рівняння є коренем другого рівняння і навпаки, або якщо обидва ці рівняння не мають рішень.
Простіше кажучи, рівняння рівносильні, якщо вони мають один і той же безліч коренів.
Той факт, що рівняння f (x) = g (x) і f1 (x) = g1 (x) рівносильні, записується так: f (x) = g (x) f1 (x) = g1 (x) тут - знак равносильности.
Ясно, що рівняння f1 (x) = g1 (x) може виявитися простіше рівняння f (x) = g (x), а так як воно має те ж коріння, що і вихідне рівняння f (x) = g (x), то його і треба вирішувати.
Правила перетворення рівнянь.
Зокрема, f (x) = g (x) f (x) - g (x) = 0. Тут p (x) = - g (x). Тобто будь-який доданок можна переносити з однієї частини нерівності в іншу, не порушуючи равносильности.
Значить, що f (x) = g (x) f (x) (x) = g (x) (x)
є рішенням рівняння
Зауваження. Природно, рівняння f (x) · p (x) = g (x) · p (x) має більше коренів, ніж рівняння f (x) = g (x), наприклад, його корінням будуть ще і коріння рівняння p (x ) = 0.Такім чином, множення обох частин рівняння на одне і те ж вираз може привести до появи сторонніх корней.Еслі ж p (x) така, що p (x)
=
0 для тих x. для яких визначені функції f (x) і g (x), то f (x) = g (x) f (x) (x) = g (x) (x)
Це означає, що для збереження равносильности множити обидві частини рівняння можна лише на відмінне від нуля вираз.
Правило 3. Кожне рішення рівняння f (x) = g (x) є рішенням рівняння (f (x)) n = (g (x)) n при будь-якому натуральному n. тобто f (x) = g (x) (f (x)) n = (g (x)) n.
При цьому, якщо n непарного (n = 2 k + 1), то можна поставити знак равносильности: f (x) = g (x) (f (x)) 2k +1 = (g (x)) 2k + 1.
Для парних n (n = 2k) справедливо тільки f (x) = g (x) (f (x)) 2k = (g (x)) 2k.
Правило 4. Кожне рішення рівняння f (x) · g (x) = 0 є рішенням, принаймні, одного з рівнянь: f (x) = 0 або g (x) = 0.
Зворотне, взагалі кажучи, невірно.
З цих чотирьох правил слід, що за допомогою стандартних прийомів і методів розв'язання рівнянь, а саме:
- перетворення (розкриття дужок, звільнення від знаменника, приведення подібних членів, зведення рівняння в непарну натуральну ступінь і т. д.);
- розкладання на множники (формально цей прийом відноситься до перетворень, але, так як він досить часто зустрічається самостійно, ми його виділяємо особливо);
- введення допоміжних невідомих;
- рівняння f (x) = g (x) може бути зведене до більш простому і, найголовніше, рівносильному рівняння f1 (x) = g1 (x).