реферат паралелограм

Паралелограм (грец. Παραλληλόγραμμον від παράλληλος - паралельний і γραμμή - лінія) - це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, тобто лежать на паралельних прямих. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб.

1. Властивості

  • Протилежні сторони паралелограма рівні. .
  • Протилежні кути паралелограма рівні.
  • Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. .
  • Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 °.
  • Будь-яка діагональ ділить паралелограм на 2 рівних трикутника.
  • Бісектриса відсікає від паралелограма рівнобедрений трикутник.
  • Сума всіх кутів дорівнює 360 °.
  • Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його двох суміжних сторін:

нехай а - довжина сторони AB, b - довжина сторони BC, d1 і d2 - довжини діагоналей; тоді

Провівши діагональ BD. ми отримаємо два трикутника: ABD і BCD. які дорівнюють, тому що одна сторона у них загальна, а відповідні кути при боці BD рівні як навхрест лежачі при паралельних прямих AB | | CD. BC | | AD. де BD - січна. З рівності трикутників випливає: | AB | = | CD |. | AD | = | BC | і ∠A = ∠С Протилежні кути ∠B і ∠D є рівними, тому що вони представляють собою суми рівних кутів.

Нарешті, кути, прилеглі до однієї сторони, наприклад ∠A і ∠D. дають в сумі 180 °, так як це кути внутрішні односторонні при паралельних прямих.

По теоремі косинусів: Оскільки. то Складаючи отримані рівності:

  • Афінний перетворення завжди переводить паралелограм в квадрат. Для будь-якого паралелограма існує Афінний перетворення, яке відображає його в квадрат.

2. Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD є паралелограма, якщо виконується одна з наступних умов:

  1. Протилежні сторони попарно рівні:.
  2. Протилежні кути попарно рівні:.
  3. Діагоналі діляться в точці їх перетину навпіл:.
  4. Сума сусідніх кутів дорівнює 180 градусів:.
  5. Протилежні сторони рівні і паралельні:.
  6. Сума відстаней між центрами протилежних сторін опуклого чотирикутника дорівнює його напівпериметр.
  7. Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєною сумі квадратів сторін паралелограма: AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

3. Площа паралелограма

. де a - сторона, h - висота проведена до цієї сторони. , Де a і b - сторони, а α - кут між сторонами a і b.
Даний реферат складений на основі статті з російської Вікіпедії. Синхронізація виконана 11.07.11 17:20:17
Схожі реферати: Паралелограм сил.

Схожі статті